a m 1+( ) 2 a m( ) 2m=
1
1
1
1
1
1
=a m 1+( ) 2 a m( )
2
8
32
128
512
2048
=
即 a n( ) 2 n 1?( ) n?= 为 所 求 的 解m 1 3,12..:=a n( ) 2 n 1?( ) n?:=
Z执 行 逆 变 换z
2? z+( )2
invztrans z,
simplify 2
1? n+( ) n?→
y 替 换 上 式 解 出
4 z? y? z2 y 4 y z+( )?
z 2? solve y,
z
z 2?( )2
→
4 z? ztrans a n( ) n,z,( )? z2 ztrans a n( ) n,z,( ) 2 a 0( )? z a 0( ) z2? 4 ztrans a n( ) n,z,( )+ z+( )?
2? z+( )
(1),(2) 第 步a 0( ) 0=a n 1+( ) 2 a n( ) 2
n?
,求 解 过 程 如 下
1 例 已 知 数 列 an 1+ 2 an? 2n+=,a0 0=, 求 an,的 通 项 公 式
Mathcad Symbolic / Transform,,Fourier,Laplace 的 菜 单 中 提 供 了 三 种 变 换 变 换
Z,.变 换 和 变 换 以 及 相 应 的 逆 变 换
Z,:变 换 相 当 于 数 学 中 定 义 的 母 函 数 例 如
n2 ztrans n,z z 1+( )
z 1?( )3
→ 而
0
∞
n
n2 z n∑
=
simplify z z 1+( )
z 1?( )3
→
又 如 ek ztrans k,zz exp 1( )?( )→ 而
0
∞
k
ek z k∑
=
simplify zz exp 1( )?( )→
Z,.利 用 变 换 及 其 逆 变 换 可 以 求 解 差 分 方 程 的 初 值 问 题
,步 骤 如 下
(1) ;给 出 差 分 关 系 式 以 及 初 始 条 件
(2) n,用 鼠 标 包 括 自 变 量 执 行 Symbolic / Transform/Z,Z ;菜 单 命 令 产 生 变 换 结 果
(3) y 用 替 换 变 换 结 果 表 达 式 中 的 ztrans a n( ) n,z,( ),用 初 始 条 件 替 换 其 中 的 a 0( ) ;
(4),从 经 过 替 换 的 表 达 式 中 执 行 Symbolic / Variable/Solve,y,z命 令 解 出 即 用 的
y;函 数 表 出
(5) 对 最 后 的 不 等 式 执 行 Symbolic / Transform/Inverse Z,.命 令 即 可 得 到 所 求 得 解
Z用 变 换 法 求 差 分 方 程 的 解23 实 验
z2 ztrans F n( ) n,z,( )? F 0( ) z2 F 1( ) z
5?( ) z? ztrans F n( ) n,z,( )? 5 F 0( )? z?+ 6 ztrans F n( ) n,z,( )?+[ ]+
...
z2 ztrans F n( ) n,z,( )? F 0( ) z2 F 1( ) z 5 z? ztrans F n( ) n,z,( ) 5 F 0( )? z?+ 6 ztrans F n( ) n,z,( )?+
msgMapleZ
F 1( ) 2?=F 0( ) 1=F n 2+( ) 5 F n 1+( ) 6 F n( )?+
3, 例 已 知 数 列 满 足 F n 2+( ) 5 F n 1+( ) 6 F n( )?+ 0= F 0( ) 1= F 1( ) 2?= 求 F(n)
a n( )
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
=
n 1 10..:=
a n( ) 15 5? 2n? 5 1?( ) n? 5 1+( ) n? 1?( )n:=
1
5
2n 5 1+( )n? 5? 2?( )n 5 1?( )n? 5
5 1?( )n 5 1+( )n?
simplify 15 5? 2n? 5 1+( ) n 1?( )n? 5 1?( ) n?+→
z
z2 z? 1?( )
invztrans z,15 2?( )
n? 5 1?( )n? 5? 2n 5 1+( )n? 5?+
5 1?( )n 5 1+( )n?
→
msgMapleSolve
z2 y? 0 z2 1 z z y 0 z? y?+
z2 ztrans a n( ) n,z,( )? a 0( ) z2 a 1( ) z z ztrans a n( ) n,z,( ) a 0( ) z? ztrans a n( ) n,z,( )?+
msgMapleZ Mathcad命 令←msgMapleZ
a 1( ) 1=a 0( ) 0=a n 2+( ) a n 1+( )? a n( )?
1,例 求 菲 波 那 契 数 列 的 通 项
z2 y? z2? 2 z?+ 5 z? y 5 z?+ 6 y?+
z z 7?( )
z2 5 z 6+( )
invztrans z,4? 3n? 5 2n?+→
:其 他 例 子
F n 3+( ) 3 F n 1+( ) 2 F n( )?+ F 0( ) 1= F 1( ) 0= F 2( ) 0=
F n 1+( ) F n( )? 2n? F 0( ) 0=
F n 3+( ) F n 2+( )? 9 F n 1+( )? 9 F n( )?+ F 0( ) 0= F 1( ) 1= F 2( ) 2=