系 数 矩 阵 A
1
z0
z0( )2
1
z1
z1( )2
1
z2
z2( )2
:=
Ci (i=0..2),三 个 方 程 联 立 为 关 于 的 线 性 方 程 组 其 系 数 行 列 式
Vandermonde 为 如 下 的 行 列 式
0
2
i
Ci zi( )2?∑
=
0=2t
y t C,( )d
d
2
0
2
i
Ci zi( )2? ezi t∑
=
=
0
2
i
Ci zi?∑
=
12?=t
y t C,( )d
d
0
2
i
Ci zi? ezi t∑
=
=
0
2
i
Ci∑
=
2=
其 中 Ci, 为 待 定 的 系 数 将 初 始 条 件,Ci,代 入 得 到 关 于 的 三 个 方 程
y t C,( )
0
2
i
Ci ezi t∑
=
:=
:方 程 的 通 解 形 式 为
z
0.18204? 1.51045i?
0.18204? 1.51045i+
0.86408
=z polyroots v( ):=
Mathcad polyroots,调 用 的 函 数 求 特 征 方 程 的 根
f(z) 的 系 数 向 量v 1 1? 1
4
1?
2
T
:=
f(z)定 义 特 征 函 数f z( ) 1
2? z
3? 1
4 z
2?+ z? 1+:=
:首 先 我 们 使 用 教 科 书 中 介 绍 的 特 征 函 数 法 求 这 个 微 分 方 程 的 特 解初 始 条 件 y'' 0( ) 0=y' 0( ) 2?=y 0( ) 2=
1
2? y'''?
1
4 y''?+ y'? y+ 0=
,,,本 文 档 里 我 们 来 求 解 一 个 简 单 的 微 分 方 程 首 先 使 用 我 们 已 知 的 方 法 然 后
Mathcad,使 用 的 内 部 求 解 微 分 方 程 的 函 数 求 解
,,问 题 如 下 求 解 下 列 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程
常 微 分 方 程 的 求 解 函 数24试 验
F,,的 第 一 列 为 自 变 量 的 值 第 二 列 为 对 应 于 自 变 量 值 的 解 函 数 值第 三 列 和 第 四 列 分 别 为 解 函 数 的 一 阶 导 数 和 二,阶 导 数 值
Fi 1,
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
1.88
1.76
1.64
1.52
1.401
1.281
1.162
1.042
0.923
0.805
0.686
=
解 矩 阵F rkfixed y t0,te,n,D,( ):=
需 计 算 的 点 数i 0 n..:=n
te t0?
ε
:=
三 阶 导 数
二 阶 导 数D t y,( )
y1
y2
2? 14? y2? y1+ y0
:=
一 阶 导 数
D(t,y):定 义 与 未 知 解 函 数 有 关 的 向 量定 义 初 始 条 件y
2
12?
0
=y y0:=
下 面 使 用 Mathcad的 内 部 函 数 rkfixed,来 求 解
y t C,( )
2
1.88
1.76
1.64
1.52
1.401
1.281
1.162
1.042
0.923
=
0 1 2 3 4 5 6
10
y t C,( )
t
t t0 t0 ε+,te..:=te 6:=t0 0:=ε 0.01:=
下 面 生 成 解 曲 线 的 图 形
C
0.96146 3.8785i?
0.96146 3.8785i+
0.07708
=C lsolve A y0,( ):=
,A*C=y0解 方 程 组
初 始 值y0 2 12? 0( )T:=
0 1 2 3 4 5 6
20
20
Fi 1,
Fi 2,
Fi 3,
Fi 0,
比 较 y t C,( ) 与 Fi 1,,可 以 看 到 二 者 是 一 致 的
, 注 上 面 求 解 中 也 可 以 使 用 内 部 函 数 Bulstoer 和 Rkadapt,所 得 的 解 是 一 样 的
Odesolve,下 面 使 用 函 数 求 解
Given
1
2? 3x y x( )
d
d
3
14 2
x
y x( )d
d
2
+
x
y x( )d
d
y x( )+ 0=
y 0( ) 2= y' 0( ) 12?= y'' 0( ) 0=
y Odesolve x 6,100,( ):=
x 0 0.01,6..:=
y x( )
2
1.88
1.76
1.64
1.52
1.401
1.281
1.162
=
0 1 2 3 4 5 6
10
10
y x( )
x
1
z0
z0( )2
1
z1
z1( )2
1
z2
z2( )2
:=
Ci (i=0..2),三 个 方 程 联 立 为 关 于 的 线 性 方 程 组 其 系 数 行 列 式
Vandermonde 为 如 下 的 行 列 式
0
2
i
Ci zi( )2?∑
=
0=2t
y t C,( )d
d
2
0
2
i
Ci zi( )2? ezi t∑
=
=
0
2
i
Ci zi?∑
=
12?=t
y t C,( )d
d
0
2
i
Ci zi? ezi t∑
=
=
0
2
i
Ci∑
=
2=
其 中 Ci, 为 待 定 的 系 数 将 初 始 条 件,Ci,代 入 得 到 关 于 的 三 个 方 程
y t C,( )
0
2
i
Ci ezi t∑
=
:=
:方 程 的 通 解 形 式 为
z
0.18204? 1.51045i?
0.18204? 1.51045i+
0.86408
=z polyroots v( ):=
Mathcad polyroots,调 用 的 函 数 求 特 征 方 程 的 根
f(z) 的 系 数 向 量v 1 1? 1
4
1?
2
T
:=
f(z)定 义 特 征 函 数f z( ) 1
2? z
3? 1
4 z
2?+ z? 1+:=
:首 先 我 们 使 用 教 科 书 中 介 绍 的 特 征 函 数 法 求 这 个 微 分 方 程 的 特 解初 始 条 件 y'' 0( ) 0=y' 0( ) 2?=y 0( ) 2=
1
2? y'''?
1
4 y''?+ y'? y+ 0=
,,,本 文 档 里 我 们 来 求 解 一 个 简 单 的 微 分 方 程 首 先 使 用 我 们 已 知 的 方 法 然 后
Mathcad,使 用 的 内 部 求 解 微 分 方 程 的 函 数 求 解
,,问 题 如 下 求 解 下 列 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程
常 微 分 方 程 的 求 解 函 数24试 验
F,,的 第 一 列 为 自 变 量 的 值 第 二 列 为 对 应 于 自 变 量 值 的 解 函 数 值第 三 列 和 第 四 列 分 别 为 解 函 数 的 一 阶 导 数 和 二,阶 导 数 值
Fi 1,
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
1.88
1.76
1.64
1.52
1.401
1.281
1.162
1.042
0.923
0.805
0.686
=
解 矩 阵F rkfixed y t0,te,n,D,( ):=
需 计 算 的 点 数i 0 n..:=n
te t0?
ε
:=
三 阶 导 数
二 阶 导 数D t y,( )
y1
y2
2? 14? y2? y1+ y0
:=
一 阶 导 数
D(t,y):定 义 与 未 知 解 函 数 有 关 的 向 量定 义 初 始 条 件y
2
12?
0
=y y0:=
下 面 使 用 Mathcad的 内 部 函 数 rkfixed,来 求 解
y t C,( )
2
1.88
1.76
1.64
1.52
1.401
1.281
1.162
1.042
0.923
=
0 1 2 3 4 5 6
10
y t C,( )
t
t t0 t0 ε+,te..:=te 6:=t0 0:=ε 0.01:=
下 面 生 成 解 曲 线 的 图 形
C
0.96146 3.8785i?
0.96146 3.8785i+
0.07708
=C lsolve A y0,( ):=
,A*C=y0解 方 程 组
初 始 值y0 2 12? 0( )T:=
0 1 2 3 4 5 6
20
20
Fi 1,
Fi 2,
Fi 3,
Fi 0,
比 较 y t C,( ) 与 Fi 1,,可 以 看 到 二 者 是 一 致 的
, 注 上 面 求 解 中 也 可 以 使 用 内 部 函 数 Bulstoer 和 Rkadapt,所 得 的 解 是 一 样 的
Odesolve,下 面 使 用 函 数 求 解
Given
1
2? 3x y x( )
d
d
3
14 2
x
y x( )d
d
2
+
x
y x( )d
d
y x( )+ 0=
y 0( ) 2= y' 0( ) 12?= y'' 0( ) 0=
y Odesolve x 6,100,( ):=
x 0 0.01,6..:=
y x( )
2
1.88
1.76
1.64
1.52
1.401
1.281
1.162
=
0 1 2 3 4 5 6
10
10
y x( )
x
