1 16.06 第15讲 状态空间微分方程的解 John Deyst 2003.10.8 今天的主题： 1、状态空间微分方程解的一般形式 2、恒定输入时的Quanser系统的解 3、稳定性 2 状态微分方程的全解 我们已获得状态微分方程的齐次解为 但是，我们需要的是全解 对于非零输入，我们假设解的形式为 其中 ()f t 仍然是不确定的，是时间的向量函数。 首先我们求导 并且代入我们所设定的解中 3 回过头再来考虑原始的微分方程，显然我们必须知道 或者，利用状态转移矩阵的性质1 现在对方程两边同时进行从零时刻到t时刻的积分 因此 根据设定的解，我们知道 因此 4 因此 根据状态转移矩阵的性质2 对等式右边的积分是标量卷积积分的向量/矩阵等价形式。尤其 该项 将输入量作用的增量从过去时刻τ转换到当前时刻t 积分是对从初始时刻到当前时刻的所有增量进行求和。 5 例： 我们将得用该解来获得Quanser系统对电机电压阶跃输入信号的 响应。 状态矩阵为 初始状态及输入量为 我们知道状态转移矩阵是 6 因此 7 这些都是在 12 ,x x平面上的椭圆方程。特别地，我们已知 因此 这是在无阻尼条件下的状态空间轨迹。如果是正阻尼，则解是收 敛；如果是负阻尼，则解是发散的。 8 系统的稳定性：系统的稳定性是由系统的齐次或零输入响应的行 为决定，即为下式的解 特别地，我们已知该解由x的初始条件和状态转移矩阵决定。 因此，系统的稳定性是由()tΦ的行为决定。现在，我们已知 且 因此，每一项的分母是sI A?的行列式。 9 此外，系统的特征方程是 因此，矩阵()tΦ的拉普拉斯变换的每个元素的分母与特征方程具 有相同的根。故我们能够得到很明显的结论—— 系统的稳定性 系统 是稳定的，当且仅当根 都位于S平面的左半平面 这里建立的Quanser的模型是不稳定的，因为它的根是在虚轴上 的。