1 16.06 第 21 讲 根轨迹规则 Karen Willcox 2003.10.23 今天的主题： 1、角条件和模条件 2、根轨迹规则 阅读： 6.1， 6.2， 6.3 2 1 角条件和模条件 回顾上一讲我们所学过的，闭环特征方程是 10 c GGH+ = 1 c GGH=? 12 12 ()()( ) 1 ()()() m n sasa sa K sbsb sb ++ + =? ++ + L L 闭环极点是对于 s 值，向量 c GGH满足条件：模为 1 且相角为 (2 1)180n±+ o 。向量 c GGH可以用图解法来计算，通过考虑合适的因式 i sa+ 和 k sb+ 的乘积。 1、角条件 2、模条件 注意：如果没有开环零点， i A 可以取为 1。 3 2 角条件和模条件的应用 我们看到这需要分两个阶段进行： Ⅰ (a) 在 s 平面的根轨迹上选择（猜测）一个试验点 (b) 检查角条件 (c) 可能不正确——继续移动该点直到它是一个闭环特征根 (d) 重复此过程直到完成根轨迹 Ⅱ 选择一个期望的闭环特征根，并计算相应的 K 值 4 3 规则 1 对 K=0，闭环极点和开环极点相同。 见第 20 讲中的例子。 4 规则 2 对 K →∞，闭环极点接近于开环零点。 5 5 规则 3 根轨迹的分支数等于开环极点数。 null null null 6 6 规则 4 如果开环极点数比零点数多的话， 那些没有零点的分支将沿着渐 近线趋向无穷远处。渐近线的条数等于开环极点数减去开环零点数。 (5) (1)(2) c s GGH K ss + = + + 由角条件可知： null null null null 7 7 规则 5 渐近线的方向可由角条件得出，渐进线的夹角 α 满足 (2 1)180i nm α ±+ = ? o i为任意整数， n为极点数， m为零点数。 考虑以前的例子： 8 8 规则 6 所有的渐近线与实轴交于一点，该点距离原点 0 ρ 0 ( )( )sum of OL poles sum of OL zeroes nm ρ ? = ? sum of OL poles：开环极点之和 sum of OL zeroes：开环零点之和 9 9 规则 7 由于复数开环极点和零点是共轭对，根轨迹关于实轴对称。 我们已经知道这一点…… 10 规则 8 实轴上的根轨迹，其右侧的开环零、极点的总数是奇数。 之前我们已经了解这一点…… 11 规则 9 在实轴上可能存在分离点或者会合点……然而， 通常我们对于这 些点的精确位置并不感兴趣，只需要大概的估计就可以了。 如果没有其它的零点和极点相互靠近的话，分离点将位于半路 上。极点趋向于排斥分离点，而零点趋向于吸引分离点。 10 12 规则 10 开环极点的分离角和开环零点 的会合角是很重要的，因为航空 / 航天工具都存在离虚轴 jω很近的复数共轭极点和零点。我们可以利 用角条件， 通过在开环零、 极点附近取试验点来确定分离角和会合角。 例 1： 例 2：