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16.06 第18讲
可控性(续)
John Deyst
2003.10.16
今天的主题:
1、多输入系统的可控性
2、举例
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在很多存在多输入的情况下,我们可以得出与标量输入相类似的
结果。正如以前我们试图将状态转移到状态空间中的任意位置,现在
控制量是多维向量()ut,要使系统可控,()ut必须在时间T内将积分
项
转移到状态空间中的任意点。与上次相似,我们定义向量
因此积分变成
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让我们考虑第一项
这是B矩阵其它各列的线性组合,对于第二项也是类似的
这是AB矩阵其它各列的线性组合。
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将这种分析扩展到其余各项,我们总结出n维向量可以用积分形
式表示如下
是矩阵各列的线性组合吗?
因此,如果系统是可控的,
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, , ,...B AB A B中必定存在n个线性无关
的列。换句话说,可控性要求
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, , ,...B AB A B中的各列必须充满整个状态
空间。
这表明这些矩阵当中,仅有n列是必要的,因此我们可得可控的
一般条件如下:
可控性条件:由矩阵A,B表示的系统是可控的,当且仅当可控
性矩阵
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具有n个线性无关的列。
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一个不是很明显的例子
在一个无摩擦表面上的三个质子
系统是静止的
该系统的微分方程是
我们定义如下状态
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则,由原始的微分方程我们可以得到
现在,为了便于计算,我们选择
因此
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向量/矩阵微分方程变成
现在我们需要检验
其中
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现在
并且我们很容易发现
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AB是
4
AB的两倍,
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AB是
5
AB的两倍等等,
因此我们不可能在可控性矩阵中找出6个线性无关的列向量,仅有4
列,因此系统是不可控的。
研究该系统的一种方法是考虑它的振荡方式。我们可以把质子的
运动分为对称和不对称振荡两种方式,且振荡频率相同。对称方式下
它们朝相同的方向运动;不对称方式下它们朝相反的方向运动。对称
方式是可控的,而不对称模式是不可控的。
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现在假设我们增加另一个控制方式,对其中一个质子施加一个外
力。
A矩阵不变,而B矩阵变为
标有*号的六个向量是线性无关的,因此系统是可控的。