1 16.060 第 19 讲 状态空间的设计 John Deyst 2003.10.20 今天的主题： 1、全维状态反馈的极点配置 2、带传感器反馈系统的设计 2 可控性最重要的含义，正如我们前 2 讲所讨论的那样，是能够确 保我们自由地进行反馈控制系统的设计。尤其是我们知道 反馈控制定理 ——当且仅当系统状态可控时， 任意确定的闭环系 统可以通过状态反馈任意配置极点。 为了实现这一点，考虑如下系统 其中 A， B 是可控矩阵对，因此矩阵 存在 n 个线性无关的列。 3 其次，假设我们能够确定或测量所有的状态，并且对它们进行反 馈，则 因此 或 其系统方框图为 4 我们期望能够确定反馈增益矩阵 K 的每一个元素的值，以便相 应系统的 n 个极点能够配置在我们所期望的任意位置。换句话说，对 于系统 该系统的特征方程如下 我们期望通过选择合适的 K 矩阵来获得期望的特征根。 方程左边是一个 n 阶多项式， s 的各阶系数是关于 K 矩阵各元素 的函数，我们将通过确定这些元素的值以获得期望的特征根。 5 例： 为 Quanser 系统设计一个全维状态反馈控制系统，系统方框图如 下： 6 该系统的方框图也可画成如下形式： 传递函数为 现在假设我们所期望的一对共轭复数极点性能指标如下： 无阻尼 自然振荡角频率为 2rad/sec，阻尼比 0.7，电机的极点保持在－ 6。 7 闭环特征函数为 这就是我们所期望的闭环系统特征方程。 让我们建立该系统的一个状态空间模型。定义 则 或 8 现在，我们具有三个状态量和一个输入量 因此，反馈增益矩阵 K 具有 1 行 3 列的形式（ 1× 3） 。 K 中的每一个元素对应每个状态的反馈增益系数，如， 2 k 就是状 态的反馈增益系数，该状态是 9 现在回顾一下，我们期望的系统的特征方程是 换句话说，我们期望 由于系统的闭环极点将配置在期望的位置上，现在 10 则 且行列式为 令 S 的各阶系数等于期望多项式的各阶系数，得 这样可容易地导出这三个状态的解为 11 因此反馈控制为 相应地，系统方框图就变成 现在，在大部分实际设计中，通过传感器测量以获得所有的 状态 量的反馈值来构造控制系统是不可能的。特别地，我们知道一个输出 向量 它小于 x的维数。在这样的情况下，通常利用观测器来获得状态 x的估计值 ?x。 12 观测器以 y 作为输入量，以 ?x作为输出量，然后 ?x乘以增益矩阵 K 以产生控制作用 u。则系统方框图为 13 问题是——我们如何设计观测器以使整个系统能够满足我们的 要求？幸好存在完整的知识体系阐述了有关内容， 结果证明由于一系 列的原因，如下形式有助于观测器很好的工作 系统的方框图如下 让我们看看系统的每一个部分 这些项 模拟了实际系统。下面这项 是一个反馈值，即实际测量值（ y ）和观测器所得到的量（ ?Cx） 之差，就好像是由估计值 ?x推断得来的。选择合适的增益矩阵 L，以 14 保证 ?x能很好地重构 x。让我们分析 x和 ?x之间的误差。 且误差的微分方程是 或 现在我们期望 e为零， 这意味着我们期望 ()ALC? 是一个稳定的系 统。这样，我们面临一个问题，它和我们刚刚讨论过的利用一个反馈 增益矩阵来配置极点的问题很相似。 特别是完成这个任务需要我们选 择观测器的反馈增益矩阵 L，以使得观测器的极点配置在我们所期望 的位置。 那么整个系统看起来如下—— 15 问题就归结为如何选择 K 和 L以满足我们的要求，结果证明如果 系统是“可观测的” ，那么观测器的极点就可以配置在 s 平面的任意 位置。可观性是可控性的对偶概念，可观性需要 0 Γ 具有 n 个线性无关 的列。 这种结构表明实现飞行器飞行操作系统是非常有利的。 在那种情 况下 ,AB?飞行器动态系统的线性模型 C ?GPS 和惯性传感器 16 x ?位置，速度，加速度，高度，高度比 率（所有可能的其它状态， 如 ,α β 等） y? 来自 GPS 角速度的位置和速度， 以及来自惯性传感器的加速度