1 16.06 第 16 讲 可控性 John Deyst 2003.10.9 今天的主题： 1、可控和不可控系统的简单实例 2、可控性的定义 3、对于标量输入的可控性条件 2 可控性的基本概念是指我们能够利用输入 ()ut 使状态 ()x t 达到状 态空间的任意点，主要问题是该系统的结构能否使这一点成为可能， 让我们看一些简单的例子来激发我们的讨论。 飞行器直线飞行的例子 我们进行系统建模，选择沿路径飞行的距离作为状态 1 x ，其导数 （沿路径的速度）为 2 x ，输入是沿此路径的加速度。 如果输入为零，则状态空间轨迹是一 条直线（沿路径的速度是常 数） 3 输入直接影响速度 2 x ，并且也间接改变它的积分值 1 x 。例如，如 果输入是恒值， 因此，控制能够驱动状态从初始状态 12 (0), (0)xx到任意末态 12 (), ()x TxT。更进一步地说，此过程可以在任意特定的时间 T 内完成， 这样的系统就是可控的！ 飞行器直线飞行的第二个例子 现在假定存在一股盛行的风且为恒值， 风的速度是该问题中的另 一个状态量。 4 现在我们有 沿路径的速度不再是 2 x ，而是 2 x 与 3 x 之和。 现在，我们的状态空间是三维的，然而，控制作用仅仅能够影响 1 x 和 2 x ，而不能影响 3 x ，我们无法控制风速。 我们限制在 33 () (0)xt x= 的平面内。 5 缺乏可控性使得我们不能同时分别对空速和相对于地面的速度 进行控制，我们只能够控制其中之一，而不能同时控制两个。这一点 对于飞行器的着陆和起飞尤其重要，也经常出现在飞机进入云层时， 以使得在给定对地速度时空速达到最大。 掌握了这几个例子之后，我们对可控性进行定义。 可控性定义 系统 是可控的，当且仅当存在一个控制作用 )(tu ，可以使得系统的状态在 一个特定的时间 T 内从任意初始状态 (0)x 转移到任意末态 ()x T 。 现在我们可以得到 ()x T 解的一般形式 6 看起来好像 由于 ()x T 可以位于空间的任意位置，对于可控性而言，它必须可 以进行卷积积分， 以达到空间中的任意点。首先考虑 情况 1： ()ut是标量 如果 ()ut是标量，则矩阵 B 仅有一列，记作 7 而且，我们知道状态转移矩阵是一个矩阵指数，因此 且卷积积分变成 现在，我们定义如下标量 8 因此 这刚好是一个向量和。 如果对等式左边进行积分能够达到空间的 任意点，则向量序列 必定可充满整个 n 维向量空间。为保证可控性，在该序列中必须能找 到至少 n 个线性无关的向量。让我们再回过头来看看前面的例子。 无风时的飞行器 因此， b和 Ab是两个线性无关的向量，因此它们充满二维状态空 间，且系统是可控的。 9 现在，让我们来考虑另外一个例子 有风时的飞行器 对于三维空间， 我们仅有两个线性无关的向量， 系统是不可控的。