第一节 傅里叶（ Fourier）级数
第一节 傅里叶（ Fourier）级数
? 一 问题的提出
? 二 三角级数 正交函数系
? 三 以 2 为周期的函数的 Fourier级数
? 四 收敛定理
? 五 小结
?
一、问题的提出
非正弦周期函数,矩形波
o t
u
???
1
1?
??
?
???
??????
t
ttu
0,1
0,1)(
当
当
不同频率正弦波逐个叠加
?,7s i n714,5s i n514,3s i n314,s i n4 tttt ???????
tu s in4??
)3s i n31( s i n4 ttu ???
)5s i n513s i n31( s i n4 tttu ????
)7s i n715s i n513s i n31( s i n4 ttttu ?????
)7s i n715s i n513s i n31( s i n4)( ??????? tttttu
)0,( ?????? tt
)9s i n917s i n715s i n513s i n31( s i n4 tttttu ??????
二、三角级数 三角函数系的正交性
? ????? ?
? 10
)s i n ()(
n nn
tnAAtf
1.三角级数
谐波分析
? ??????? ?
? 10
)s i nc o sc o ss i n(
n nnnn
tnAtnAA
? ?? ?
? 1
0 )s i nco s(
2 n nn nxbnxa
a
,2 00 Aa ?令,s i n nnn Aa ??,co s nnn Ab ??,xt ??
三角级数
2.三角函数系的正交性
??,s i n,c o s,2s i n,2c o s,s i n,c o s,1 nxnxxxxx
.],[
:
上的积分等于零任意两个不同函数在
正交
???
,0c o s ????? n x d x,0s i n ????? n x d x
三角函数系
),3,2,1( ??n
,,,0s ins in
??
?
??
??? ?
?? nm
nmnx d xmx
,,,0c o sc o s
??
?
??
??? ?
?? nm
nmnx d xmx
.0c o ss in ?? ??? n x d xmx ),2,1,( ??nm其中
三、函数展开成傅里叶级数
问题, 1.若能展开,是什么? ii ba,
2.展开的条件是什么?
1.傅里叶系数
? ??? ?
? 1
0 )s i nco s(
2)( k kk kxbkxa
axf若有
.)1( 0a求
dxkxbkxadxadxxf
k kk
])s i nco s([2)(
1
0 ? ? ????? ?
??
?
?
?
??
?
??
,220 ??? a ???
?
?? dxxfa )(
1
0
k x d xbdxkxadxa
k
k
k
k s i nc o s2
11
0 ? ?? ??
?
?
??
?
??
??? ? ?? ?? ?
.)2( na求
??? ? ??? ?? nx d xanx d xxf co s2co s)( 0
]c o ss i nc o sc o s[
1
??? ? ??? ???
?
?? n x d xkxbn x d xkxa k
k
k
?? ??? n x d xa n 2c o s,?? na
??? ? ?? n xd xxfa n c o s)(1 ),3,2,1( ??n
.)3( nb求
??? ? ?? n xd xxfb n s i n)(1 ),3,2,1( ??n
?? ?? ? ???? nx d xanx d xxf s i n2s i n)( 0
]s i ns i ns i nc o s[
1
??? ? ??? ???
?
?? n x d xkxbn x d xkxa k
k
k,?? nb
?
?
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?
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?
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?
?
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?
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??
?
??
),2,1(,s i n)(
1
),2,1,0(,c o s)(
1
?
?
nn x d xxfb
nn x d xxfa
n
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
0
2
0
),2,1(,s i n)(
1
),2,1,0(,c o s)(
1
?
?
nn x d xxfb
nn x d xxfa
n
n
或
傅里叶系数
傅里叶级数
? ??
?
? 1
0 )s i nc o s(
2 n nn nxbnxa
a
问题,
? ??
?
? 1
0 )s i nc o s(
2?)( n nn nxbnxa
axf 条件
2.狄利克雷 (Dirichlet)充分条件 (收敛定理 )
设 )( xf 是以 ?2 为周期的周期函数, 如果它满足条件,
在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且
至多只有有限个极值点,则 )( xf 的傅里叶级数收敛,
并且
( 1 ) 当 x 是 )( xf 的连续点时,级数收敛于 )( xf ;
( 2 ) 当 x 是 )( xf 的间断点时,收敛于
2
)0()0( ??? xfxf;
(3) 当 x 为端点 ???x 时,收敛于 2 )0()0( ?????? ff,
注意, 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成
幂级数的条件低的多,
解
例 1 以 ?2 为周期的矩形脉冲的波形
?
?
?
??????
???
?
tE
tE
tu
m
m
,
0,
)(
将其展开为傅立叶级数,
o t
u
???
mE
mE?
所给函数满足狄利克雷充分条件,
.),2,1,0( 处不连续在点 ?????? kkt
2
mm EE ??收敛于
2
)( mm EE ???,0?
).(,tukt 收敛于时当 ?? 和函数图象为
o t
u
???
mE
mE?
? ????? nt d ttua n c o s)(1
?
?
?
??
?
?
?
?
?
0
0
c o s
1
c o s)(
1
n td tE
n td tE
m
m
),2,1,0(0 ??? n
? ????? nt d ttub n s i n)(1
?? ??? ????? 00 s i n1s i n)(1 nt d tEnt d tE mm
)co s1(2 ???? nnE m ])1(1[2 nmnE ????
??
?
?
?
??
???
???
?
?
,2,1,2,0
,2,1,12,
)12(
4
kkn
kkn
k
E m
??
?
????
1
)12s i n ()12( 4)(
n
m tn
n
Etu
),2,,0;( ???????????? tt
所求函数的傅氏展开式为
注意, 对于非周期函数,如果函数 只在
区间 上有定义,并且满足狄氏充
分条件,也可展开成傅氏级数,
)(xf
],[ ???
作法,
),()()()2( ?????? xfxFT周期延拓
)]0()0([21 ?????? ff端点处收敛于
例 2 将函数
?
?
?
???
?????
?
xx
xx
xf
0,
0,
)( 展开为傅立叶
级数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,
拓广的周期函数的傅
氏级数展开式在
收敛于, )(xf
],[ ???
x
y
0 ??? ?2?2?
?
? ????? nx d xxfa n c o s)(1
?? ??? ????? 00 c o s1c o s)(1 n xd xxn xd xx
)1( c o s22 ???? nn ]1)1[(22 ???? nn
? ????? dxxfa )(10
?? ??? ????? 00 1)(1 xd xdxx,??
??
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
,2,1,2,0
,2,1,12,
)12(
4
2
kkn
kkn
k ?
? ????? nx d xxfb n s i n)(1
?? ??? ????? 00 s i n1s i n)(1 n xd xxn xd xx,0?
?
?
?
??????
1
2 )12c o s ()12(
14
2)( n xnnxf )( ????? x
所求函数的傅氏展开式为
),3,2,1( ??n
利用傅氏展开式求级数的和
,)12c o s ()12( 142)(
1
2?
?
?
??????
n
xnnxf?
,0)0(,0 ?? fx 时当 ?????? 22
2
5
1
3
11
8
,4131211 222 ???????设
),8(51311
2
221
??????? ?
,614121 2222 ??????
,4131211 2223 ???????
,44 212 ???? ????,243
2
1
2
??????
21 ??? ??,6
2?
? ??? ?? 13 2.12
2?
?
为周期的连续函数，且是以设 ?2)( xf
??
?
???
1
0 )s i nc o s(
2)( n nn nxbnxa
axf 可逐项积分，
试证明：,)(2)(
1
1
22
2
02 ??
?
?
?
?? ???? n nn ba
adxxf
.)(,的傅立叶系数为其中 xfba nn
证 ?
?
?
???
1
0 )s i nc o s(
2)( n nn nxbnxa
axf?
??
?
????
1
02 ]s i n)(c o s)([)(
2)( n nn nxxfbnxxfaxf
axf
例 3
可逐项积分，)( xf?
?? ??? dxxfa )(2 0 ?? ? ??? dxxf )(2
? ???
?
?
??
?
?? ?1 ]s i n)(c o s)([n nn n x d xxfbn x d xxfa
?? ? ??? dxxfa )(2 0
? ???
?
?
??
?
?? ?1 ]s i n)(c o s)([n nn n x d xxfbn x d xxfa
0a
na? nb?
,)(2)(
1
22
2
02 ??
?
?
?
?? ????
???
n
nn ba
adxxf
结论可证,
播放
1.基本概念；
2.傅里叶系数；
3.狄利克雷充分
条件；
4.非周期函数的
傅氏展开式；
5,傅氏级数的意义 —— 整体逼近
四、小结
思考题 若函数 )()( xx ?? ??,问,)( x? 与 )( x?
的傅里叶系数 na, nb 与 n?, n? ),2,1,0( ??n
之间有何关系？
思考题解答
??? ?? ?? nx d xxa n co s)(1
? ? ???? ?? ?? )()co s ()(1 tdntt
?? ?? ?? ?? nx d xx co s)(1
??? ?? ?? nx d xx co s)(1 n?? ),2,1,0( ??n
??? ?? ?? nx d xxb n s i n)(1
? ? ???? ?? ?? )()s i n()(1 tdntt
?? ??? ?? ?? nx d xx s i n)(1
???? ?? ?? nx d xx s i n)(1 n??? ),2,1( ??n
,nna ??,nnb ???
一,设周期为 ?2 的周期函数 )( xf 在 ),[ ??? 上的表达式
为 )0(
0,
0,
)( ??
?
?
?
??
???
? ba
xax
xbx
xf 常数
?
?
试将其
展开成傅里叶级数,
二,将下列函数
)( xf
展开成傅里叶级数,
1,
?
?
?
??
???
?
?
?
x
xe
xf
x
0,1
0,
)( ；
2,
)s i n ( a r c s i n)(
?
x
xf ?
.
练 习 题
一,)(
4
)( baxf ??
?
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???
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1
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nx
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nx
n
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),2,1,0,)12(( ?????? nnx ?
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二,1, nx
n
ee
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n
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n
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?
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???
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( ?? ??? x ).
练习题答案
2, ),(s i n
2
)1()(
1
1 ??
?
??? ?
?
?
? nx
n
xf
n
n,
( 提示, ??
??
????? x
xx
xf,)s i n (a r c s i n)( )