第二节
一元复合函数
求导法则
本节内容,
一、多元复合函数求导的链式法则
二、多元复合函数的全微分
微分法则
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多元复合函数的求导法则
第十七章
一、多元复合函数求导的链式法则
定理, 若函数 ),( vufz ?
处偏导连续,
在点 t 可导,
t
v
v
z
t
u
u
z
t
z
d
d
d
d
d
d ?
?
???
?
?? z
则复合函数
证, 设 t 取增量△ t,
vvzuuzz ????????? )( ?o?
则相应中间变量
且有链式法则
vu
tt
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有增量△ u,△ v,
,0,0 ???? vu则有
( 全导数公式 )
t
v
v
z
t
u
u
z
t
z
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
t
o
??
)( ?
z
vu
tt
))()(( 22 vu ?????
)(??o?
(△ t＜ 0 时,根式前加, –”号 )
t
v
t
v
t
u
t
u
d
d,
d
d ?
?
??
?
?
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t
v
v
z
t
u
u
z
t
z
d
d
d
d
d
d ?
?
???
?
??
若定理中 说明,
例如, ?? ),( vufz
tvtu ??,
易知,
但复合函数 ),( ttfz ?
2
1
d
d ?
t
z
? t
v
v
z
t
u
u
z
d
d
d
d ?
?
???
?
?
01010 ?????
偏导数连续 减弱为
偏导数存在,
2
t?
0,2222
2
??? vuvu vu
,0 022 ?? vu
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则定理结论 不一定成立,
推广,
1) 中间变量多于两个的情形, 例如,,),,( wvufz ?
设下面所涉及的函数都可微,
?tzdd
??? ????????? 321 fff
2) 中间变量是多元函数的情形,例如,
),(,),(,),( yxvyxuvufz ?? ???
???xz 1211 ?? ?????? ff
2221 ?? ?????? ff??
?
y
z
z
z
wvu
vu
yxyx
ttt
t
u
u
z
d
d?
?
?
t
v
v
z
d
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??
t
w
w
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d
d?
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x
u
u
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x
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??
y
u
u
z
?
??
?
?
y
v
v
z
?
??
?
??
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)(,)(,)( twtvtu ??? ???
又如,),(,),( yxvvxfz ???
当它们都具有可微条件时,有
x
z
?
?
121 ? ????? ff
y
z
?
?
22? ??? f
fz ?
x
yx
注意, 这里 x
z
?
?
x
f
?
?
x
z
?
?
表示固定 y 对 x 求导,x
f
?
?
表示固定 v 对 x 求导
口诀, 分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导
x
f
?
??
与 不同,
v
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例 1,设,,,s i n yxvyxuvez u ????,,y
z
x
z
?
?
?
?求
解, x
z
?
?
ve u sin?
y
z
?
?
ve u sin?
x
v
v
z
?
??
?
??
ve u c o s?
y
v
v
z
?
??
?
??
ve u c o s?
1?
1?
z
vu
yxyx
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例 2.,s i n,),,( 2222 yxzezyxfu zyx ??? ??y
u
x
u
?
?
?
?,求
解, x
u
?
?
2222 zyxex ???
yxyxeyxx 2422 s i n22 )s in21(2 ????
zyx
yx
u
y
u
?
?
2222 zyxey ???
yxyxeyyxy 2422 s i n4 )c o ss in(2 ????
x
f
?
??
2222 zyxez ???
y
f
?
??
y
z
z
f
?
??
?
??
2222 zyxez ???
yx sin2?
yx c o s2?
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例 3,设,s in tvuz ??,d
d
t
z
z
tvu
tt
t
z
d
d
tev?
ttte t c o s)s in( c o s ???
t
u
u
z
d
d?
?
??
t
z
?
?? 求全导数,teu ?,co s tv ?
解,
tcos?
注意,多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与
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验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握
这方面问题的求导技巧与常用导数符号,
为简便起见,引入记号
?,,
2
121 vu
ff
u
ff
??
????
?
???
例 4,设 f 具有二阶连续偏导数,
求,,
2
zx
w
x
w
??
?
?
?
解, 令,,zyxvzyxu ????
x
w
?
?
w
vu
zyx zyx
),( vufw ?
zyf ??? 2
),(2 zyxzyxfzy ????
则
zx
w
??
?2
22221211 )( fyfzyxfzxyf ????????????
yxf ???? 12 yxf ???? 22
21,,ff ??
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(当 在二、三象限时,) ? ?? ??
x
ya r c t a n
例 5,设 二阶偏导数连续,求下列表达式在
解, 已知 u
?r
yx yx
极坐标 系下的形式
x
r
r
u
?
?
?
??
x
u
?
?
(1)
,则
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r
u
r
u ?
??
s i nc o s
?
??
?
??
y
u
?
?
y
r
r
u
?
?
?
??
222
1
)(1
,
yx
x
yr
y
y
r
x
y
x
?
?
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? ?
r
u
r
u ?
??
c o ssi n
?
??
?
??
y
u
?
?
?
?? ?
?
2
2
222 )(1)()()(
??
??
?
??
?
??
?
?? u
rr
u
y
u
x
u
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r
y
r
u
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??
2r
xu
??
?? u
?r
yx yx
已知
r
?
?
sin) ( ?
?
??
r
u
r
u ?
??
si nc o s
?
??
?
?
)( xux ????? 2
2
)2(
x
u
?
? r
u
r
u
x
u ?
??
sinc o s
?
??
?
??
?
?
u
?r
yx yx
??? ) (rxu ) (???? xu?
r
u
r
u ?
??
si nc o s
?
??
?
?
2
c o ssi n
r
u ??
??
??
?cos r
?sin x
u
?
?
2
rr
u ?2sin
?
??2
?c o s) ( ???? r 注意利用
已有公式
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2
2
y
u
?
?
?
?
??
?
??
2
2
2
2
y
u
x
u
?21r?
2
2
x
u
?
?
rr
u
r
u ???
?
2
2
s i nc o ss i n2
?
??
?
??
rr
u
r
u ???
?
2
2
c o sc o ss i n2
?
??
?
??
同理可得
2
2
r
u
?
?
2
2
2
1
?
? u
r ?
2
2
)(
??
??
?
?
?
u
r
ur
rr
2
2
2
22
2
2
2 c o sc o ss i n
2s i n
r
u
rr
u
r
u ?
?
??
?? ?
??
??
??
?
??
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二、多元复合函数的全微分
设函数
的全微分为 y
y
zx
x
zz ddd
?
??
?
??
yyvvzyuuz d)( ????????????
可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,
)dd( yyuxxu ????? )dd( yyvxxv ?????
则复合函数 ) (fz ? ),(,),( yxyx ??
ud vd
都可微,
其全微分表达
形式都一样,这性质叫做 全微分形式不变性,
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例 1,,,,s in yxvyxuvez u ????,,y
z
x
z
?
?
?
?求
例 6,利用全微分形式不变性再解例 1,
解, ) (dd ?z
)]c o s ()s in ([ yxyxye yx ????
所以
ve u sin
vve u dc o s?
)(d yx )(d yx ?
)d(d yx ?
xd
yd
)dd( yxxy ?
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内容小结
1,复合函数求导的链式法则
“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”
例如,u
vyx
yx;1?? 2??
2,全微分形式不变性
不论 u,v 是自变量还是因变量,
vvufuvufz vu d),(d),(d ??
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思考与练习
解答提示,
P31 题 7
???vz
1?
x
z
?
?
y
z
?
??
)1(??
22 yx
xy
?
??
22 vu
u
??
P31 题 7; 8(2); P73 题 11
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……
P31 题 8(2)
???xu 1f? 11 fy ??
???yu 1f? 2f??
???zu 2f?
212
1 f
zfy
x ?????
22 fz
y ???
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???xz 1f? 2f??
???? yx z
2
11f ??? 13f ???
21f ??? 23f ???
作业
P31 2; 4; 6; 9; 10; 12(4); 13
P73题 11
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1,已知 求
解, 由 两边对 x 求导,得
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2,
))1,1(,1()1( ff??
1)(d
d 3
?xxx ?
1)1,1( ?? f
1d
d)(3 2
?? xxx
??
?3? )),(,(1 xxfxf ?
? ?)),(,(2 xxfxf ?? ? 1?x
??3 51?
,1)1,1( ?f
,)),(,()( xxfxfx ??
,2
)1,1(
??? xf
求
在点 处可微,且 设函数,3
)1,1(
??? yf
解, 由题设
?2 ??3 ?)32( ?
(2001考研 )
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