第十八章 第一节
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一、一个方程所确定的隐函数
及其导数
二、方程组所确定的隐函数组
及其导数
隐函数
本节讨论,
1) 方程在 什么条件 下才能确定隐函数,
例如,方程
当 C < 0 时,能确定隐函数 ;
当 C > 0 时,不能确定隐函数 ;
2) 在方程能确定隐函数时,研究其 连续性、可微性
及 求导方法 问题,
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理 1,设函数;0),( 00 ?yxF
则方程
单值连续函数 y = f (x),并有连续
y
x
F
F
x
y ??
d
d
(隐函数求导公式 )
定理证明从略,仅就求导公式推导如下,
① 具有连续的偏导数 ;
的 某邻域内 可唯一确定一个
在点 的某一邻域内满足
0),( 00 ?yxF y
②
③
满足条件
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导数
两边对 x 求导
y
x
F
F
x
y ??
d
d 0?yF在 的某邻域内
则
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若 F( x,y ) 的二阶偏导数也都连续,
?2
2
d
d
x
y
2
y
xxyyxx
F
FFFF ?
??
3
22 2
y
xyyyxyxyxx
F
FFFFFFF ??
??
y
x
F
F?
)(
y
x
F
F
y ??
??
)(2
y
x
y
xyyyyx
F
F
F
FFFF
?
?
?
二阶导数,
)(
y
x
F
F
x ??
? x y
xx
y
d
d
则还有
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例 1,验证方程 在点 (0,0)某邻域
可 确定一个 单值可导隐函数
0d
d,
0d
d
2
2
?? xx
y
xx
y
解, 令,1s in),( ???? yxeyyxF x
,0)0,0( ?F
,yeF xx ?? 连续,
由 定理 1 可知,
1)0,0( ?yF 0?
①
导的隐函数
则
xyF y ?? c o s
②
③
在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
且
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并求
0d
d
?xx
y
0??? xF
F
y
x
?? xy ?c o s ye x ? 0,0 ?? yx
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0d
d
2
2
?xx
y
)c o s(dd xy yex
x
?
???
2)c o s(
xy ?
??
3?? 1
0
0
???
?
?
y
y
x)( ye x ?? )( c o s xy ? )( ye x ?? )1s in( ??? yy
0?? xy
30
d
d
2
2
???x
x
y
)(,01s i n xyyyxey x ?????
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
yyyy ??????? c o s)(s in 2
令 x = 0,注意此时 1,0 ???? yy
)0,0(c o s xy
ye x
?
???
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
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定理 2, 若函数 ),,( zyxF
z
y
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z ??
?
???
?
?,
的某邻域内具有 连续偏导数,
则方程 在点
并有连续偏导数
定一个单值连续函数 z = f (x,y),
定理证明从略,仅就求导公式推导如下,
满足
0),,( 000 ?zyxF
0),,( 000 ?zyxF z
① 在点
满足,
②
③
某一邻域内可唯一确
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0)),(,,( ?yxfyxF
两边对 x 求偏导
xF
z
x
F
F
x
z ??
?
?
z
y
F
F
y
z ??
?
?
同样可得
则
zF? x
z
?
?
0?
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例 2,设,04222 ???? zzyx
解法 1 利用隐函数求导 0422 ?
?
??
?
??
x
z
x
zzx
z
x
x
z
???
?
2
?2 04 2
2
?
?
??
x
z
2)(1
x
z
?
??
.2
2
x
z
?
?求
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再对 x 求导
解法 2 利用公式
设 zzyxzyxF 4),,( 222 ????
则,2 xF x ?
z
x
F
F
x
z ??
?
??
两边对 x 求偏导
)2(2
2
z
x
xx
z
??
??
?
?
3
22
)2(
)2(
z
xz
?
???
2??? z
x
z
x
?? 2
42 ?? zF z
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z
x
F
F
x
z ??
?
?
???
?
x
z
例 3,设 F( x,y)具有连续偏导数,
解法 1 利用偏导数公式,
???
?
y
z
21
2
FyFx
Fz
???
?? 21
1
FyFx
Fz
???
??
yyzxxzz ddd ??????
zF 11??
??1F )( 2zx? ??? 2F )( 2zy?
zF 12??
确定的隐函数,
)dd( 21
21
yFxFFyFx z ???????
则
)()( 22 21 z yz x FF ???????
已知方程
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故
对方程两边求微分,
??1F
)dd(d 21
21
yFxFFyFx zz ???????
)dd( 2
z
zxxz ?
z
z
FyFx d
2
21 ???
z
yFxF dd 21 ????
解法 2 微分法,
)d( 2
z
zyyz ?
)(d zx ??? 2F 0)(d ?zy
??1F ??? F 0?
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形,
??
?
?
?
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
??
?
?
?
),(
),(
yxvv
yxuu
由 F,G 的偏导数组成的行列式
vu
vu
GG
FF
vu
GFJ ?
?
??
),(
),(
称为 F,G 的 雅可比 ( Jacobi )行列式,
以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即
雅可比 目录 上页 下页 返回 结束
定理 3,
,0),,,( 0000 ?vuyxF
的某一邻域内具有连续偏
设函数
则方程组 0),,,(,0),,,( ?? vuyxGvuyxF
③
),( 00 yx在点
的 单值连续函数 ),,(,),( yxvvyxuu ??
且有偏导数公式,
① 在点
②
的某一邻域内可 唯一 确定一组满足条件
满足,
0),( ),( ????
Pvu
GF
PJ;0),,,( 0000 ?vuyxG
导数；
,),( 000 yxuu ?
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),( 000 yxvv ?
),(
),(1
vx
GF
Jx
u
?
???
?
?
),(
),(1
vy
GF
Jy
u
?
???
?
?
),(
),(1
xu
GF
Jx
v
?
???
?
?
),(
),(1
yu
GF
Jy
v
?
???
?
?定理证明略,
仅推导偏导
数公式如下,
v
v
vu
vu G
F
GG
FF
1
??
v
v
vu
vu G
F
GG
FF
1
??
u
u
vu
vu G
F
GG
FF
1
??
u
u
vu
vu G
F
GG
FF
1
??
(P34-P35)
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x
x
G
F
y
y
G
F
x
x
G
F
y
y
G
F
,,的线性方程组这是关于 xvxu ????
??
?
?
?
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
有隐函数组 则
两边对 x 求导得
设方程组
,0??
vu
vu
GG
FFJ 在点 P 的某邻域内
??
? xu??? xv???
x
u
?
??
x
v
?
??xF uF? vF? 0?
xG uG? vG? 0?
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故得 系数行列式
同样可得
),(
),(1
vy
GF
Jy
u
?
???
?
?
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),(
),(1
vx
GF
Jx
u
?
???
?
?
),(
),(1
xu
GF
Jx
v
?
???
?
?
),(
),(1
yu
GF
Jy
v
?
???
?
?
例 4,设,1,0 ???? vxuyvyux,,,,y
v
x
v
y
u
x
u
?
?
?
?
?
?
?
?
解,
xy
yxJ ??
Jx
u 1?
?
?
22 yx
vxuy
y
u
?
???
?
?
方程组两边对 x 求导，并移项得
求
vxvxxuy ???????
xv
yu
?
??
22 yx
vyux
?
???
Jx
v 1?
?
?
22 yx
uyvx
?
???
练习, 求 y
v
y
u
?
?
?
?,uxvyxux ???????
022 ??? yx
22 yx
vyux
y
v
?
???
?
?
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答案,
由题设
故有
例 5.设函数 在点 (u,v) 的某一
1) 证明函数组
( x,y) 的某一邻域内
2) 求
解, 1) 令 0),(),,,( ??? vuxxvuyxF
0),(),,,( ??? vuyyvuyxG
对 x,y 的偏导数,
在与点 (u,v) 对应的点
邻域内有连续的偏导数,且
唯一确定一组单值、连续且具有
连续偏导数的反函数
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① 式两边对 x 求导,得
???? uy0 xv??xu??
?1 x
u
?
?
x
v
?
??
?
?
u
x ?
?
??
v
x
???? vy
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则有 ),(
),(
vu
GFJ
?
??,0
),(
),( ?
?
??
vu
yx
由 定理 3 可知结论 1) 成立,
2) 求反函数的偏导数,
①
②
,0?J注意
v
y
v
x
J
?
?
?
?
0
1
1
???xu ???xv,1 vyJ ??? uyJ ???? 1 0
1
1
u
y
u
x
J
?
?
?
?
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从方程组 ② 解得
同理,① 式两边对 y 求导,可得
,1 vxJyu ?????? uxJyv ????? 1
,0?J注意
v
y
v
x
J
?
?
?
?
0
1
1
???xu
???xv
,1 vyJ ???
u
y
J ?
??? 10
1
1
u
y
u
x
J
?
?
?
?
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从方程组 ② 解得
同理,① 式两边对 y 求导,可得
,1 vxJyu ?????? uxJyv ????? 1
???xu
x
v
?
?
例 5的应用, 计算极坐标变换 ?? s in,c o s ryrx ??
的反变换的导数,
x
r
?
?
???x?
同样有 22 yx
y
y
r
?
??? 22
yx
x
y ???
? ?
所以
由于
v
y
J ?
?1
u
y
J ?
??? 1
?c o s1 rr?
?si n1r??
r?
??
?? y
J
1
?cos? 22 yx
x
?
?
r
y
J ?
?? 1
22 yx
y
?
??
r
r
??
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内容小结
1,隐函数 ( 组 ) 存在定理
2,隐函数 ( 组 ) 求导方法
方法 1,利用复合函数求导法则直接计算 ;
方法 2,利用微分形式不变性 ;
方法 3,代公式
思考与练习
设 求
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z
x
?
? ?
?
提示, ),( zyxzyxfz ???
???xz 1f? ? ?xz???? 1 2f?? ? ?xzyxzy ????
x
z
?
? 21 fzyf ???
211 fyxf ????
?
?1 1f? ? ?1???? zx 2f?? ? ?yxzxzy ?????
211 fyxf ????
21 fzyf ???
y
x
?
? ???0 1f? ? ?1??
??
y
x
2f?? ? ?zxy
xzy ?
?
??
?
21 fzxf ???
21 fzyf ???
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),( zyxzyxfz ???
解法 2,利用全微分形式不变性同时求出各偏导数,
,yx??
?zd
1f? ? ?zyx ddd ??? 2f
?? ? ?zyxyzxxzy ddd ???
:d x解出 d ?x
21 fzyf ???
? ? zfyxf d1 21 ?????? ? yfzxf d21 ????
作业
P37 3,6,7,9,10(1); (3),11
.zx??
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由 d y,d z 的系数即可得
,2?? yxe yx
备用题
分别由下列两式确定, 又函数
有连续的一阶偏导数,1,设
解, 两个隐函数方程两边对 x 求导,得
? ? 321 )s i n ( )(1dd fzx zxefxyfxu
x
?
?
???????
u
zyx
x x
)s i n (
)(1
zx
zxez x
?
????
,dsi n0 tt te zxx ? ?? (2001考研 )
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解得
因此
)1( y??
2,设 是由方程 和
所确定的函数,求
解法 1 分别在各方程两端对 x 求导,得
)0( ???? zy FfxF
zy
xy
FfxF
FfxFfxf
???
?????? )(
?? xzdd
1
zy FF
fx ??
xy FF
fxffx
?
????
(99考研 )
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解法 2 微分法,
0),,(),( ??? zyxFyxfxz
对各方程两边分别求微分,
化简得
消去 yd,d
d
x
z yF d2??
yfx d??
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可得
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一、一个方程所确定的隐函数
及其导数
二、方程组所确定的隐函数组
及其导数
隐函数
本节讨论,
1) 方程在 什么条件 下才能确定隐函数,
例如,方程
当 C < 0 时,能确定隐函数 ;
当 C > 0 时,不能确定隐函数 ;
2) 在方程能确定隐函数时,研究其 连续性、可微性
及 求导方法 问题,
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理 1,设函数;0),( 00 ?yxF
则方程
单值连续函数 y = f (x),并有连续
y
x
F
F
x
y ??
d
d
(隐函数求导公式 )
定理证明从略,仅就求导公式推导如下,
① 具有连续的偏导数 ;
的 某邻域内 可唯一确定一个
在点 的某一邻域内满足
0),( 00 ?yxF y
②
③
满足条件
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导数
两边对 x 求导
y
x
F
F
x
y ??
d
d 0?yF在 的某邻域内
则
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若 F( x,y ) 的二阶偏导数也都连续,
?2
2
d
d
x
y
2
y
xxyyxx
F
FFFF ?
??
3
22 2
y
xyyyxyxyxx
F
FFFFFFF ??
??
y
x
F
F?
)(
y
x
F
F
y ??
??
)(2
y
x
y
xyyyyx
F
F
F
FFFF
?
?
?
二阶导数,
)(
y
x
F
F
x ??
? x y
xx
y
d
d
则还有
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例 1,验证方程 在点 (0,0)某邻域
可 确定一个 单值可导隐函数
0d
d,
0d
d
2
2
?? xx
y
xx
y
解, 令,1s in),( ???? yxeyyxF x
,0)0,0( ?F
,yeF xx ?? 连续,
由 定理 1 可知,
1)0,0( ?yF 0?
①
导的隐函数
则
xyF y ?? c o s
②
③
在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
且
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并求
0d
d
?xx
y
0??? xF
F
y
x
?? xy ?c o s ye x ? 0,0 ?? yx
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0d
d
2
2
?xx
y
)c o s(dd xy yex
x
?
???
2)c o s(
xy ?
??
3?? 1
0
0
???
?
?
y
y
x)( ye x ?? )( c o s xy ? )( ye x ?? )1s in( ??? yy
0?? xy
30
d
d
2
2
???x
x
y
)(,01s i n xyyyxey x ?????
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
yyyy ??????? c o s)(s in 2
令 x = 0,注意此时 1,0 ???? yy
)0,0(c o s xy
ye x
?
???
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
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定理 2, 若函数 ),,( zyxF
z
y
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z ??
?
???
?
?,
的某邻域内具有 连续偏导数,
则方程 在点
并有连续偏导数
定一个单值连续函数 z = f (x,y),
定理证明从略,仅就求导公式推导如下,
满足
0),,( 000 ?zyxF
0),,( 000 ?zyxF z
① 在点
满足,
②
③
某一邻域内可唯一确
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0)),(,,( ?yxfyxF
两边对 x 求偏导
xF
z
x
F
F
x
z ??
?
?
z
y
F
F
y
z ??
?
?
同样可得
则
zF? x
z
?
?
0?
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例 2,设,04222 ???? zzyx
解法 1 利用隐函数求导 0422 ?
?
??
?
??
x
z
x
zzx
z
x
x
z
???
?
2
?2 04 2
2
?
?
??
x
z
2)(1
x
z
?
??
.2
2
x
z
?
?求
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再对 x 求导
解法 2 利用公式
设 zzyxzyxF 4),,( 222 ????
则,2 xF x ?
z
x
F
F
x
z ??
?
??
两边对 x 求偏导
)2(2
2
z
x
xx
z
??
??
?
?
3
22
)2(
)2(
z
xz
?
???
2??? z
x
z
x
?? 2
42 ?? zF z
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z
x
F
F
x
z ??
?
?
???
?
x
z
例 3,设 F( x,y)具有连续偏导数,
解法 1 利用偏导数公式,
???
?
y
z
21
2
FyFx
Fz
???
?? 21
1
FyFx
Fz
???
??
yyzxxzz ddd ??????
zF 11??
??1F )( 2zx? ??? 2F )( 2zy?
zF 12??
确定的隐函数,
)dd( 21
21
yFxFFyFx z ???????
则
)()( 22 21 z yz x FF ???????
已知方程
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故
对方程两边求微分,
??1F
)dd(d 21
21
yFxFFyFx zz ???????
)dd( 2
z
zxxz ?
z
z
FyFx d
2
21 ???
z
yFxF dd 21 ????
解法 2 微分法,
)d( 2
z
zyyz ?
)(d zx ??? 2F 0)(d ?zy
??1F ??? F 0?
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形,
??
?
?
?
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
??
?
?
?
),(
),(
yxvv
yxuu
由 F,G 的偏导数组成的行列式
vu
vu
GG
FF
vu
GFJ ?
?
??
),(
),(
称为 F,G 的 雅可比 ( Jacobi )行列式,
以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即
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定理 3,
,0),,,( 0000 ?vuyxF
的某一邻域内具有连续偏
设函数
则方程组 0),,,(,0),,,( ?? vuyxGvuyxF
③
),( 00 yx在点
的 单值连续函数 ),,(,),( yxvvyxuu ??
且有偏导数公式,
① 在点
②
的某一邻域内可 唯一 确定一组满足条件
满足,
0),( ),( ????
Pvu
GF
PJ;0),,,( 0000 ?vuyxG
导数；
,),( 000 yxuu ?
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),( 000 yxvv ?
),(
),(1
vx
GF
Jx
u
?
???
?
?
),(
),(1
vy
GF
Jy
u
?
???
?
?
),(
),(1
xu
GF
Jx
v
?
???
?
?
),(
),(1
yu
GF
Jy
v
?
???
?
?定理证明略,
仅推导偏导
数公式如下,
v
v
vu
vu G
F
GG
FF
1
??
v
v
vu
vu G
F
GG
FF
1
??
u
u
vu
vu G
F
GG
FF
1
??
u
u
vu
vu G
F
GG
FF
1
??
(P34-P35)
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x
x
G
F
y
y
G
F
x
x
G
F
y
y
G
F
,,的线性方程组这是关于 xvxu ????
??
?
?
?
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
有隐函数组 则
两边对 x 求导得
设方程组
,0??
vu
vu
GG
FFJ 在点 P 的某邻域内
??
? xu??? xv???
x
u
?
??
x
v
?
??xF uF? vF? 0?
xG uG? vG? 0?
公式 目录 上页 下页 返回 结束
故得 系数行列式
同样可得
),(
),(1
vy
GF
Jy
u
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???
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),(
),(1
vx
GF
Jx
u
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xu
GF
Jx
v
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GF
Jy
v
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???
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例 4,设,1,0 ???? vxuyvyux,,,,y
v
x
v
y
u
x
u
?
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?
?
?
?
?
?
解,
xy
yxJ ??
Jx
u 1?
?
?
22 yx
vxuy
y
u
?
???
?
?
方程组两边对 x 求导，并移项得
求
vxvxxuy ???????
xv
yu
?
??
22 yx
vyux
?
???
Jx
v 1?
?
?
22 yx
uyvx
?
???
练习, 求 y
v
y
u
?
?
?
?,uxvyxux ???????
022 ??? yx
22 yx
vyux
y
v
?
???
?
?
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答案,
由题设
故有
例 5.设函数 在点 (u,v) 的某一
1) 证明函数组
( x,y) 的某一邻域内
2) 求
解, 1) 令 0),(),,,( ??? vuxxvuyxF
0),(),,,( ??? vuyyvuyxG
对 x,y 的偏导数,
在与点 (u,v) 对应的点
邻域内有连续的偏导数,且
唯一确定一组单值、连续且具有
连续偏导数的反函数
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① 式两边对 x 求导,得
???? uy0 xv??xu??
?1 x
u
?
?
x
v
?
??
?
?
u
x ?
?
??
v
x
???? vy
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则有 ),(
),(
vu
GFJ
?
??,0
),(
),( ?
?
??
vu
yx
由 定理 3 可知结论 1) 成立,
2) 求反函数的偏导数,
①
②
,0?J注意
v
y
v
x
J
?
?
?
?
0
1
1
???xu ???xv,1 vyJ ??? uyJ ???? 1 0
1
1
u
y
u
x
J
?
?
?
?
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从方程组 ② 解得
同理,① 式两边对 y 求导,可得
,1 vxJyu ?????? uxJyv ????? 1
,0?J注意
v
y
v
x
J
?
?
?
?
0
1
1
???xu
???xv
,1 vyJ ???
u
y
J ?
??? 10
1
1
u
y
u
x
J
?
?
?
?
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从方程组 ② 解得
同理,① 式两边对 y 求导,可得
,1 vxJyu ?????? uxJyv ????? 1
???xu
x
v
?
?
例 5的应用, 计算极坐标变换 ?? s in,c o s ryrx ??
的反变换的导数,
x
r
?
?
???x?
同样有 22 yx
y
y
r
?
??? 22
yx
x
y ???
? ?
所以
由于
v
y
J ?
?1
u
y
J ?
??? 1
?c o s1 rr?
?si n1r??
r?
??
?? y
J
1
?cos? 22 yx
x
?
?
r
y
J ?
?? 1
22 yx
y
?
??
r
r
??
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内容小结
1,隐函数 ( 组 ) 存在定理
2,隐函数 ( 组 ) 求导方法
方法 1,利用复合函数求导法则直接计算 ;
方法 2,利用微分形式不变性 ;
方法 3,代公式
思考与练习
设 求
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z
x
?
? ?
?
提示, ),( zyxzyxfz ???
???xz 1f? ? ?xz???? 1 2f?? ? ?xzyxzy ????
x
z
?
? 21 fzyf ???
211 fyxf ????
?
?1 1f? ? ?1???? zx 2f?? ? ?yxzxzy ?????
211 fyxf ????
21 fzyf ???
y
x
?
? ???0 1f? ? ?1??
??
y
x
2f?? ? ?zxy
xzy ?
?
??
?
21 fzxf ???
21 fzyf ???
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),( zyxzyxfz ???
解法 2,利用全微分形式不变性同时求出各偏导数,
,yx??
?zd
1f? ? ?zyx ddd ??? 2f
?? ? ?zyxyzxxzy ddd ???
:d x解出 d ?x
21 fzyf ???
? ? zfyxf d1 21 ?????? ? yfzxf d21 ????
作业
P37 3,6,7,9,10(1); (3),11
.zx??
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由 d y,d z 的系数即可得
,2?? yxe yx
备用题
分别由下列两式确定, 又函数
有连续的一阶偏导数,1,设
解, 两个隐函数方程两边对 x 求导,得
? ? 321 )s i n ( )(1dd fzx zxefxyfxu
x
?
?
???????
u
zyx
x x
)s i n (
)(1
zx
zxez x
?
????
,dsi n0 tt te zxx ? ?? (2001考研 )
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解得
因此
)1( y??
2,设 是由方程 和
所确定的函数,求
解法 1 分别在各方程两端对 x 求导,得
)0( ???? zy FfxF
zy
xy
FfxF
FfxFfxf
???
?????? )(
?? xzdd
1
zy FF
fx ??
xy FF
fxffx
?
????
(99考研 )
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解法 2 微分法,
0),,(),( ??? zyxFyxfxz
对各方程两边分别求微分,
化简得
消去 yd,d
d
x
z yF d2??
yfx d??
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可得
