§2 数集。确界 §2 二?? 数集 . 确界原理: 一? 区间与邻域:  区间 ：? ???　                  ?      ? ? 邻域     二?? 有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集:?? 定义(上、下有界, 有界) ?闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 ? ?也是有界数集. ???? ??无界数集: 对任意，存在 ，则称S为无界集。? 等都是无界数集,? 例 证明集合 是无界数集. 证明：对任意, 存在  由无界集定义，E为无界集。 确界 先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称 它为数集S的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。 精确定义 定义2? 设S是R中的一个数集，若数 满足一下两条： （1）??? 对一切 ?有 ，即 是数集S 的上界； （2）??? 对任何 存在 使得（即是S的最小上界） 则称数为数集S的上确界。记作?  定义3? 设S是R中的一个数集，若数 满足一下两条： （3）??? 对一切 ?有 ，即 是数集S 的下界； （4）??? 对任何 存在 使得（即是S的最大下界） 则称数为数集S的下确界。记作?  ??? 例1? ⑴?? ??则 ??????? ?????????⑵ ???则  定理1.1? (确界原理). 设 S 为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。 证明（见教材） 例2?????????? 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的. 例3?????????? 设和是非空数集，且有 则有 . 例4? 设和是非空数集. 若对和都有 则有  ??? 证? ?是的上界,?? ?是的下界,  例5? 和为非空数集, ?试证明: ???????  ???? ???证? 有或 由和分别是和的下界,有 或 即???? 是数集的下界,? ? ?又的下界就是的下界, 是的下界,? 是的下界,? ? 同理有 于是有 . ??综上,? 有????????? . 2.????? ?数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释. 3.????? ?确界与最值的关系:? 设 为数集. ???? ⑴?? 的最值必属于,? 但确界未必,? 确界是一种临界点. ???? ⑵?? 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. ???? ⑶?? 若存在, 必有 ? ?对下确界有类似的结论.