§4 两个重要的极限 一 ??证明? ? [重要极限演示] ? ? ? ? ? ? ? 证? §1例4中我们已导出如下不等式 ? （）． 除以，得到 ，由此得 　????????????? ?? ?????　（１） 在（１）式中用代替时，（１）式不变，故 （１）式当 ?时也成立，从而它对一切满足不等式 ?的 ?都成立． 由 ??及函数极限的迫敛性，即得 ?．  ? ? ? ? ? ? ? 函数 ?的图象如右图所示． 例１　求 解　令，则 ，且当时．所以有 ?? ?????????????????? 例2　求?  解　＝＝ 二　证明?  y='(1+1/x)^x';ezplot(y,[10,100]) ?  ? ? ? ? ?? ? 　 　 证　所求证的极限等价于同时成立以下两个极限 ??????????????????? ????? （2） ?????????????????????? ??? （3） 先利用数列极限 ?证明（2）式成立． 为此，作定义在上的两个阶梯函数如下： ，， ，， 易见增（第二章§3习题4）且有上界, 减（第二章§3习题9）且有下界．故据上节习题2， 与 皆存在．于是，由归结原则（取＝）得到 ＝ ＝ 另一方面，当时有 ? 以及 ?， 即有 ，． 从而根据迫敛性，定理（2）式得证． 现证（3）式．为此作代换 ，则 ， 且当 ?时 ，从而有 ＝ 以后还常用到的另一种极限形式： 　　　　　　　　　　（4） 事实上，令 ，则 ，所以 ＝ 例3　求  解　 ＝  例4? 求 解? 令 ,? 则当 ?时 ，因此 == 例5? 求?  解? ． ?另一方面，当时有  而由归结原则（取 ）， ＝＝ 于是，由数列极限的迫敛性得