第五节 无穷小量和无穷大量
冯永平
Fypmath@gzhu.edu.cn
一、无穷小量
1.定义,
定义 1 如果对于任意给定的正数 e ( 不论它多么小 ),
总存在正数 d ( 或正数 X ),使得对于适合不等式
d < - <
0 0 x x ( 或 > x X ) 的一切 x,对应的函数值
) ( x f 都满足不等式 e < ) ( x f,
那末 称函数 ) ( x f 当 0 x x （或 ） 时为无穷小,
记作 ),0 ) ( lim ( 0 ) ( lim
0
= =
x f x f x x x 或
极限为零的变量称为 无穷小 量,
?
?
??x
??
例如,
,0s i nl i m0 =? xx?,0s i n 时的无穷小是当函数 ?? xx
,01lim =
?? xx
?,1 时的无穷小是当函数 ??? x
x
,0)1(lim =-
?? n
n
n
?,})1({ 时的无穷小是当数列 ??-? nn
n
注意
1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆 ;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数,
2.无穷小与函数极限的关系,
证,)(lim
0
Axfxx =?设,)()( Axfx -=?令
定理 1 ),()()(lim
0
xAxfAxf
xx
??=?=
?
其中 )( x? 是当 0xx ? 时的无穷小,
e
dde
<-
<-<>?>??
Axf
xx
)(
0,0,0 0
恒有
时使得当
e? <)( x即有
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小 );
).(,)(
)(.2 0
xAxf
xxf
?? 误差为
附近的近似表达式在给出了函数
3.无穷小的运算性质,
定理 2 在同一过程中,有限个无穷小的
代数和仍是无穷小,
证
,时的两个无穷小是当及设 ???? x
使得,X,X,000 21 >>?>? e;Xx 21 e? <> 时恒有当 ;Xx 22 e? <> 时恒有当
},X,Xm a x {X 21=取 恒有时当,Xx >
??????? 22 e?e<,e=
)(0 ??????? x
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,
是无穷小，时例如 nn 1,,??
.11 不是无穷小之和为个但 nn
定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,
证 内有界，在设函数 ),( 100 dxUu
.
0,0,0 101
Mu
xxM
?
d<-<>d>?
恒有
时使得当则
,0 时的无穷小是当又设 xx ??
.
0,0,0 202
M
xx
e
<?
d<-<>d?>e??
恒有
时使得当
推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的
乘积是无穷小,
推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小,
},,m i n { 21 dd=d取 恒有时则当,0 0 d<-< xx
??=?? uu MM e?<,e=
.,0 为无穷小时当 ???? uxx
xxxxx
1a rc ta n,1s i n,0,2时当例如 ?都是无穷小
二、无穷小的比较
例如,
x
x
x 3
lim
2
0?
x
x
x
s inlim
0?
2
2
0
1s i n
lim
x
x
x
x ?
.1s i n,s i n,,,0 22 都是无穷小时当 xxxxxx ?
极限不同,反映了趋向于零的, 快慢, 程度不同,;32 要快得多比 xx;s i n 大致相同与 xx
不可比,
,0=
,1=
xx
1s inlim
0?=,不存在
);(
,,0lim)1(
?=?
??=
?
?
o记作
高阶的无穷小是比就说如果
定义,,0,,???? 且穷小是同一过程中的两个无设;),0(lim)2( 是同阶的无穷小与就说如果 ???=?? CC;~;,1lim
??
??=
?
?
记作
是等价的无穷小与则称如果特殊地
.
),0,0(l i m)3(
无穷小
阶的的是就说如果 kkCC
k
??
?
?
>?=
例 1
解
.t a n4,0,3 的四阶无穷小为时当证明 xxxx ?
4
3
0
t a n4lim
x
xx
x ?
3
0
)t a n(l im4 x x
x ?
=,4=
.t a n4,0 3 的四阶无穷小为时故当 xxxx ?
例 2,s int a n,0 的阶数关于求时当 xxxx -?
解
30
s i nt a nlim
x
xx
x
-
?
? )c o s1t a n(li m 2
0 x
x
x
x
x
-?=
?,2
1=
.s i nt a n 的三阶无穷小为 xxx -?
常用等价无穷小,,0时当 ?x
,1lim =???,0lim =? ?-?? ),( ?=?-? o即
).( ???=? o于是有
例如,),(s i n xoxx ?=
).(211co s 22 xoxx ?-=
.
2
1
~c o s1,~1,~)1l n (
,~a r c t a n,~t a n
,~a r c s i n,~s i n
2
xxxexx
xxxx
xxxx
x
--?
定理 4(等价无穷小替换定理 )
.limlim,lim~,~ ?????????? ??=???? 则存在且设
证 ??lim )lim( ?? ??? ?? ??? ??=
?
? ??
? ?
? ??
? ?
?= limlimlim,lim
??
??=
例 3,co s1 2ta nlim
2
0 x
x
x -?
求
解,2~2ta n,
2
1~co s1,0 2 xxxxx -? 时当
2
2
0
2
1
)2(
lim
x
x
x ?
=原式
.8=
不能滥用等价无穷小代换,
对于代数和中各无穷小不能分别替换, 注意
例 4,2s i n s i nta nl i m 3
0 x
xx
x
-
?
求
解,~s i n,~t a n,0 xxxxx 时当 ?
30 )2(lim x
xx
x
-=
?
原式,0=
解,0时当 ?x
)co s1(ta ns i nta n xxxx -=-,21~ 3x
,2~2s i n xx
3
3
0 )2(
2
1
lim
x
x
x ?
=原式,
16
1=
错
?
例 5,3s i n 1co s5t a nlim
0 x
xx
x
?-
?
求
解 ),(5t a n xoxx ?=? ),(33s in xoxx ?=
).(21co s1 22 xoxx ?=-
)(3
)(
2
1
)(5
lim
22
0 xox
xoxxox
x ?
???
=
?
原式
x
xo
x
xo
x
x
xo
x )(
3
)(
2
1)(
5
lim
2
0
?
???
=
?,
3
5=
三、无穷大
定义 2 如果对于任意给定的正数 M ( 不论它多么
小 ),总存在正数 d ( 或正数 X ),使得对于适合不等式
d<-<
0
0 xx ( 或 >x X ) 的一切 x,所对应的函数
值 )( xf 都满足不等式 Mxf >)(,
则称函数 )( xf 当 0xx ? ( 或 ??x ) 时为无穷小,
记作 ).)(lim()(lim
0
?=?=
???
xfxf
xxx
或
绝对值无限增大的变量称为 无穷大,
特殊情形：正无穷大，负无穷大,
))(l i m()(l i m
)()( 00
-?=??=
??
?
??
?
xfxf
x
xx
x
xx
或
注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆 ;
3,无穷大是一种特殊的无界变量,但是无
界变量未必是无穷大,
.)(lim.2
0
认为极限存在勿将 ?=? xfxx
xxy 1sin1=
.,
1
s i n
1
,0,
但不是无穷大是一个无界变量
时当例如
xx
yx =?
),3,2,1,0(
2
2
1)1(
0 ?=?
??
= k
k
x取
,22)( 0 ???= kxy,)(,0 Mxyk >充分大时当
),3,2,1,0(2 1)2( 0 ?=?= kkx取
,||,d<kxk 充分大时当
??= kkxy k 2s i n2)(但,0 M<=
不是无穷大,
无界,
.11l i m
1
?=-
? xx
证明例
证,0>? M,11 Mx >-要使
,11 Mx <-只要,1M=d取
,110 时当 Mx =d<-<,11 Mx >-就有,11lim 1 ?=-? ? xx
.
)(,)(l i m,0
0
的图形的铅直渐近线
是函数则直线如果定义 xfyxxxf
xx
==?=
?
1
1
-= xy
四、无穷小与无穷大的关系
定理 5 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
证,)(lim
0
?=? xfxx设
,
1
)(
0,0,0 0
e
>
d<-<>d?>e??
xf
xx
恒有
时使得当
.)(1 e<xf即
.)(1,0 为无穷小时当 xfxx ??
.0)(,0)(lim,
0
?=? xfxfxx 且设反之
,
1
)(
0,0,0 0
M
xf
xxM
<
d<-<>d?>??
恒有
时使得当
.)(1 Mxf >从而
.)(1,0 为无穷大时当 xfxx ??
,0)( ?xf由于
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论,
五、小结
几点注意,
无穷小与无穷大是相对于过程而言的,
（ 1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆,
零是唯一的无穷小的数；
（ 2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小,
（ 3） 无界变量未必是无穷大,