3? 定积分的性质 性质1 （线性性质）若均在上可积，则也在?上可积，且 ? 性质2 ??有界函数在区间 ?和 ?上可积，?,? 并有 .???? ( 证明并解释几何意义 ) 规定 ???????,? . 系? ?设函数在区间 上可积 . 则对 ,? 有 ??????????? ??????????.???? （ 证 ） ?性质3.? ??积分关于函数的单调性: ?设函数, 且,? ??.（ 证 ）(反之确否?) 积分的基本估计:? .? 其中和分别为函数在区间上的下确界与上确界. ????性质4.? ?绝对可积性: 设函数, ?, 且? ?(注意.) 该定理之逆不真. ?以例 ????做说明. ????? 6.? 积分第一中值定理: ???,? 使? ???=.?????? ?  ?( 推广的积分第一中值定理 )??? ?? 且不变号， 则 ,? 使 =.?????????? ? ?Mathematical?? Monthly,? 1982.? No 5.? P300—301 .? 在该文中得到如下结果: Th?? If? ??is　differentiable? at? ?， ?， and? ?　is　taken　inthe? Theorem? for? integral ，then? ??????????????? ???????. ???二.? 变限积分: 定义上限函数 ，（以及函数） 其中函数.? 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数. 定理? ( 面积函数的连续性 ) 三.? 举例: ?? ?例1? 设. 试证明:????? . 其中 ?和 ?是 ?内的任二点,? {},? . 例2? 比较积分 与的大小. 例3? 设 ?但.? 证明 >0. 例4? 证明不等式? ?. 证明分析：? 所证不等式为 ?? 只要证明在 ?上成立不等式 ?,? 且等号不恒成立,? 则由性质4和上例得所证不等式. 例5?? 证明 ?.?