第二章? 数列极限 §1? 数列极限概念 教学目标： 1° 使学生初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延； 2° 使学生学会用定义证明极限的基本方法； 3° 通过知识学习，加深对数学的抽象性特点的认识；体验数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学 “符号化”的意义及“数形结合”方法； 4° 了解我国古代数学家关于极限思想的论述，增强爱国主义观念。 我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去研究运动，即如果仅仅把运动看成物 体在某一时刻在某一地方，那我们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的，我们就事实上还没有脱 离初等数学的领域，只有我们用动态的观点揭示出函数y＝f（x）所确定的两个变量之间的变化关系时， 我们才算真正开始进入高等数学的研究领域。极限是进入高等数学的钥匙和工具。我们从最简单的也是最 基本的数列极限开始研究。 1 数列极限的概念  数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。我们的祖先很早就对数列进行了研究， 早在战国时期就有了极限的概念 例1????????? 战国时代哲学家庄周所著的《庄子。天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日 取其半，万世不竭。”也就是说一根一尺长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以 一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列,如图所示, （c11(k)） 其长度 组成的数列为 ,  n=10; x=0:n;? y=1./2.^x; x1=[0:n];? y1=1./2.^x; line([x1;x1],[0*x1;y1],'linewidth',5) axis([-1,n+1,0,1.1]) ?  随着n 无限的增加, 木棒的长度无限的趋近于零。 ? ? 对于圆周率的估计，我国古代数学家作出了很大贡献。我国最早的算书 《周髀算经》（公元700年）已经谈到“圆径一而周三”，即， 三国时期（263），我国科学家刘徽就提出了“割圆求周”的思想，直径为1 圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长，再平分各弧量出内接正十二边 形的周长，这样分割下去，算出了（称徽率）。南北朝时代的祖冲之 （429-500）在《缀术》一书中求得 在与之间，于是 定 叫做圆率正数，叫做“密率”，叫做“约 率 ”，后人总称“祖率”。祖冲之 的密率 要比欧洲最早得出这个近似值德人 鄂图早1100余年。  例2??????????? 刘徽用直径为1的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长，再平分各弧量出内接正十二 边形的周长，这样无限制的分割下去，得到的内接多边形,就是一个收敛数列.试分析它的收敛性. ? ? ? ?  ?  ? ?  ?  ?   ?  ? ?  ? ? ??? ? =) ?  ? 用 Matlab 计算 和图示如下： clf, n=18; t=0:2*pi/n:2*pi; r=1*ones(size(t)); for i=1:n; z=i*sin(pi./i); end polar(t,r); 可以看出，随着 ?的无限增大， 无限地接近圆的周长 。?这正如刘徽所说“割之弥细，所失弥 小，割之又割，以之不可割，则与圆合体而无所失矣”。 这两个数列有一个共同的特征，都存在一个常数， 当?充分大时， 充分的小， 即不管事 先给多么小的一个正数， 比如 0.1,? 0.01, 0.001 … , 我们都能找到一个相应的自然数 ， 当 ? 时  clf, n=30; k=1:n; ak=1./k; plot(k,ak,'r.'),hold on plot([0,n],[0,0]) axis([1,n,-0.5,1])? ? ?由此，可给出数列的定义： ???? 对于数列 ，设 A 是一个常数，若任给 ?，都存在相应的自 然数 ?时，? ?，则称 A为数列的极限。 下面我们通过图示，对数列定义作几点说明： （1）的任意性 （2）的相应性 三、用极限定义证明 ?的例题 例1.证明? （K为正实数） 证：由于?  所以ε＞0，取N=,?? 当?? n＞N时,?? 便有?  注：或写作：ε＞0，取N = ，当 n＞ N 时，有 ， ∴  例2. 证明?  分析，要使? （为简化，限定n） 只要?  证., 当 ?, 有  由定义?????  适当予先限定 n＞n。是允许的！但最后取N时要保证 n＞n。 例3．证明 =0，? 这里?  证.若q=0,? 结果显然成立 若0＜＜1，令 =＞0) 由于 ? 所以，＞0，取N=，有 ＜ 注：1°特别地写当q=时，此即为上述实例中的 2°贝努利不等式  例4? 证明 ，其中 。 先任取数 ，用Matlab 计算出 ?的值，并将其画在坐标上。 n=20;? x=1:n;? y=3.^(1./x);? y1=1+3./x; plot(x,y,'r.',x,y1,'b')? hold on plot([1,n],[1,1])? axis([0,n,0,3]); legend('a^1/n','1+a/n');??  ? ? ? ? ? ? ? ? ? 可以看出，随着的无限增大，无限的接近1，且有 ??即???  任给 ，存在 N＝，当 n > N 时,? ，所以?? . ? 由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤： (1)化简 (2)适当放大 ，通常放大成? 的形式 (3)解? ， 求出需要的  ? 数列极限的几何意义 ?，从几何意义上讲是，A的任意邻域外至多有数列的N项，或者说 A的任意邻域内都含有数列（除有限项以外）的所有项。 ?收敛的否定: 定义 ( 的“”定义 ). 例8? 验证  註: 1.? 改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性: 2.? 数列极限的等价定义: ??? ? ???? 对  ???? ??对任正整数 ?