§ 4?? 高阶导数 高阶导数的概念： 加速度?? ??高阶导数 ?定义:??  ??????????????? ? ?注意区分符号 ?? 和  ?以函数 ??为例介绍高阶导数计算方法. ?高阶导数的记法: 函数在 处的 阶导数记为 ??  ?相应的阶导数记为?? ??? ?二.? 几个特殊函数的高阶导数: 1. 多项式:? 多项式的高阶导数. ?例1? ???求 和 . ?2.?? 正弦和余弦函数: 计算 、、、?的公式. 3． ??和的高阶导数： ?4． ?的高阶导数： ?5．?? ?的高阶导数： 6．??????????? 分段函数在分段点的高阶导数： 以函数 ???为例，求 . ?三.? 高阶导数的运算性质:? 设函数 ?和 ?均 ??阶可导. 则 ?1．???  ?2．???  ?3．?? ?乘积高阶导数的Leibniz公式： ???????????????  ? 例? 设? ?求  ? 利用萊布尼兹公式 ， 取   ? 注意：利用萊布尼兹公式时要注意 ?与 ?的选取次序，否则会使计算复杂。 ?例2?? ???求  解?  ? ?例3? ??求  ?解?  ???????  ????? ?? ???????? ??????? ?例4? ??其中二阶可导. ?求  ?例5? 验证函数 ?满足微分方程 ????? ?并依此求  ?解?? ? ?两端求导 ???即  对上式两端求 ?阶导数,? 利用Leibniz公式,? 有 ????????? ?  ????????? ? ? 可见函数满足所指方程.?? 在上式中令 ?得递推公式 ?注意到 ?和 ,? 就有 ?时,?  ??时,?  ??四.? 参数方程所确定函数的高阶导数:  例6? ?求  ?解?? ??? ? ??????? ?习? 题? 课 一.? 可导条件: 例1?? 设在点的某邻域内有 证明在点可导. ?例2?? 设函数在点可导,? ??则在点??不可导. 例3??????? ?设函数定义在区间内, 试证明: 在点可导的充要条件是存在内 例4??????? 的函数（仅依赖于和.? 使在点连续且适合条件? ????  ?并有?? ????????? ?证?? ?设存在,? 定义  ?易验证函数在点连续,? ?且  ??? ??????????设 ? 又在点 ?连续.? 则有  ?即 ?存在且?  ?二.? 求导数或求切线: ?例4? ??求? ?和 ?? ?例5? ??求?  ?例6? ??求  ?解?  ??????????????????  ?设 ???? ?其中 为 ?的多项式. 注意到对任何正整数? ??则有  ?所以，对? 有  ?例7? 抛物线方程为 ??求下列切线: ?⑴?? 过点?( 该点在抛物线上 )??????? ???????(? ?) ?⑵?? 过点.(该点不在抛物线上 ) ( ?和 ?) ?一.?????? 曲线的吻接:? 曲线的吻接及其解析表达.? ? 例8? 设 ?? ?确定、?和 的值，使函数在点 可导.???? ?) ?四.? 奇、偶函数和周期函数的导函数： 例9? 可导奇函数的导函数是偶函数.? ( 给出用定义证和用链导公式证两种证法)? 例10 ?设 ?是偶函数且在点 ?可导,? 则 .? 证? ? ? ??? 即 ?? ? 由 ?存在，? ? 简提可导周期函数的导函数为周期函数, 且周期不变. ? 五.? 关于可导性的一些结果: 1.? 若是初等函数, 则也是初等函数. 在初等函数的定义域内, 导函数不存在的点是函数的不可导点. 例如函数的定义域是, 但导函数在点没有定义, 因此点是函数的不可导点. 2.????? 存在仅在一点可导的函数. 例如 ?  该函数仅在点可导. 3.???? 存在处处连续但处处不可导的函数. 十九世纪后半叶, 德国数学家Weierstrass大约在1875年首先给出了这样的一个函数, 其后直到现在给出更为简单的这类函数的例的工作一直在进行着. 其中较简单的例可参阅F. Riesz ?(匈牙利人) 著《泛函分析》Vol P3—5,? 或 ?Mark? Lynch ,? 《A? continuous ， nowhere ?differentiable? function 》，Amer . Math . Monthly,? Vol 99, №1, 1992,? P8—9.? 近年来, 对这一问题给出了更一般的回答, 即在某种意义下( 在纲的意义下), 连续但不可导的函数要比连续且可导的函数多得多. 可参阅丁传松著《实分析导论》（科学出版社，1998.）P5—8. ? 小结： 莱布尼兹（G.W.Leibniz? 1664.7.1—1716.11.4） 生于来比锡，父亲是大学教授，六岁时父亲去世，他以极大的求知欲阅读父亲遗留下来的各种学科书籍。55岁入来比锡大学学法律，20 岁获博士学位，以法律和国际政治为职业，作法律顾问。1672 年因外交事务到巴黎，接触了一些数学家，激发了他对数学的兴趣，从此利用业余时间研究数学，他是靠自学成才的。他在数学上最杰出的贡献就是与牛顿各自独立的创立了微积分，他巧妙的建立了微积分的符号体系，这是一伟大功绩。他一方面从事政治、外交活动，一方面进行科学研究，他涉足的面很广，如哲学、数学、物理、地质、生物、机械、文学、神学、法律、历史等都有杰出贡献。被誉为德国的百科全书式天才。??