§2? 不定积分的计算 不定积分的计算（1） ?教学内容：第一换元积分法（凑公式法）? 分部积分法 要 求：掌握凑公式法的技巧和方法 ????? 掌握分部积分中 的选取原则和技巧 难 点：分部积分中 的选取原则和技巧 ? 不定积分的计算一般由三种方法： 1） 凑公式法 2） 部积分法 2） 第二变量替换法 今天讲前两种方法： 一??第一类换元法 ——凑公式法  ??  ??????????????????????  ?????????????????  引出凑公式法:?? 定理?? 若 ?? ??连续可导, ?则  该定理可叙述为：? 若函数能分解为? ?则有? ? ??????????????????? ??. ? 凑公式法： 表面看 ?不符合基本积分公式，但作变换，令 后  ，而 ?符合基本积分公式。 例1? ??但作变换，令? ?后  例2? ??不符合基本积分公式，稍微变换一下 ??????????? ＝ ，? 令 ? ?  例3? ??不符合基本积分公式，但用三角函数公式整理  令? ?后，化成  ?凑公式法的关键是设法把 ?凑成? ?的形式，使 符合基本积分公式。 ???二 分部积分 我们讲导数时，知道?  从而有 ? 移项得 ? 或?????????? ?????????? 我们称这个公式为分部积分公式。 当 ??不容易积分，但?容易积分时，我们就可以用分部积分把不容易积分 的 ??计算出来 例4??? ?? 若令? ?， 代入分部积分公式  但若令?? ?， 代入分部积分公式 ????????? ? 这比原积分还复杂，由此可知，在用分部积分公式时，u, v? 的选择不是随意的，那个作u , 那个作? v? ，应适当选取，否则有可能计算很复杂甚至计算不出来。 分析分部积分公式，我们可总结出下面一个原则： 一般应把（相比之下）容易积分，积分后比较简单的函数作为 ，积分较难或积分后比较复杂的函数 作为。 例 4??  相比之下显然，容易积分，所以取?   分部积分公式也可以连续用多次 例5?? ? ?积分是它本身，积分是?相比之下，?容易积分，应选 ， ?????????? ??????????? 再用一次分部积分公式 ??????????????????  例6???  ??二者积分难度相当，随意取那个作u 都可，比如取  ? 代入分部积分公式 ?? 再分部积分一次 ?????????? ?? 出现循环，将上式最后一项移到左端合并整理 ??????????????????  ?分部积分使用的类型：一般说下面类型的不定积分 ?????  ?等常用分部积分来计算。 ? 习题课(凑公式法和分部积分法) 1????常用的几种凑公式法 凑法1??  例 1  例 2?  例 3?  例 4?  ????????????????????????  由例1-4知，常可用初等化简把被积函数化为型，然后用凑法1. 例 5?? ⑴??? .??? ⑵???  ????????????????? . ?凑法2??? ?. 特别地,? 有? ??? ?和? . 例6 . 例7?  例8? . 例9?  ???????????????? =. 凑法3??  ??? ??????????????  例 10? ⑴???? ⑵? ??? 例11? ????? 例12? .??? 例13? ?? 凑法4????. 例 15????  凑法5 ????? 例 16???  凑法6? ?? ?????????????? . 例 17?  ??????????????????? . 其他凑法举例: 例 18?? . 例 19??  例 20? ? ?????????????? . 例21??? .???????????????????????????? 例22?? .??????????????????????????? 例23???  例24?? . ?????? 二 使用分部积分公式的一般原则. 1.? 幂 ?X ?型函数的积分:? 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, ?以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替( 一般会变繁 ), ?但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂”型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对 “”求导以使其成为代数函数. 例25? ??????(幂对搭配)???? 例26?? ???(幂三搭配)???????????????????? 例27?? ??????(幂指搭配)?????????????????? 例29?? ?????(幂指搭配)??????????? 例3?? ???????????????????????????????????? 例31?? ??(幂反搭配)????????????????????? 例32?? ? 2??????? 建立所求积分的方程求积分:? 分部积分追求的另一个目标是: 对被积函两因子之一求导, 进行分部 积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中 解出原积分来.???? 例33?? ?? 例34?? 求?和?? 解 ????? 解得??  例35????????? ??? 解?? = ?????? = ?????? ???? 解得??  例36?????? 例37????????? ， 解得??? . 例38? ????????? ?????? = ???????? =, 解得? ? . ? 不定积分的计算（2） 第二换元积分法 教学内容：第二换元积分法 要 求：掌握正弦代换，正切代换，正割代换，根式代换的技巧 难 点：代换的选择技巧 ? 二.???? 第二类换元法 —— 拆微法： ?? 从积分?出发，从两个方向用凑微法计算，即 = ?= = 引出拆微原理. 定理? 设是单调的可微函数,并且 又? 具有原函数. 则有换元公式 ????????? ????????????(证) 常用代换有所谓? 无理代换, ??三角代换, ???双曲代换,? ?倒代换, ??万能代换, Euler代换等. 我们着重介绍三角代换和无理代换. 1.????????????? 三角代换:? ⑴?正弦代换:? 正弦代换简称为“弦换”是针对型如的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令,? 则 ?? ??? 例1???????????? ?解法一? 直接积分;??? 解法二?? 用弦换. 例2????????.?????? 例3???????? ?? ?  ?⑵? 正切代换:? 正切代换简称为“切换”. 是针对型如的根式施行的, 目的是去掉 根号.? 方法是: 利用三角公式????即???  ?令? ??????. 此时有 ??? ?变量还原时, 常用所谓辅助三角形法. 例4????.? 解?? 令 ?有. 利用例22的结果, 并用辅助三角形, 有 = = ?例5? ?? ?⑶正割代换:? 正割代换简称为“割换”. 是针对型如 ?的根式施行的, 目的是去掉 根号.? 方法是:? 利用三角公式? 令?有?? 变量还愿时, 常用辅助三角形法. ?例6?? ??????????????????????? ?解??? ? ??????? ??? ?. 例7?????. 解法一?? （ 用割换 ） ??????  ?2.??? 无理代换: 若被积函数是? ???的有理式时,?? 设 ?为?的最小公倍数,? 作代换?? ? , 有?? . 可化被积函数为 ?的有理函数. 例8?? . 例9??  ???????????? . 若被积函数中只有一种根式?? 或??? ?可试作代换 ?? 或??? .? 从中解出? ?来. 例10?? .??????????????????????????? 例11?? ??? 例12?? ??????(给出两种解法) 例13??  ????????? . ?????????  ???????????????????????????? 3.? 倒代换: ? 当分母次数高于分子次数,? 且分子分母均为“因式”时, 可试用倒代换 例14? ?? ?