§ 3?? 泰勒公式 ?一.? 问题和任务: 泰勒定理的引入和基本思想?? 容易验证多项式函数?   一般函数上面的结果能否成立或近似成立呢？若一个函数能用多项式近似，对函数的计算、性质的 研究就会大大简化。 ?二 几个常见函数的泰勒公式展开? （n=? ，f=sym('f(x)')? ，y=f(x)） clf, f=sym('sin(x)'); x=0:1/20:4; y=sin(x); z=taylor(f,'x=0',7); z1=taylor(f,'x=0',9); ezplot(z,[0,4])，hold on ezplot(z1,[0,4])，hold on plot(x,y,'r','linewidth',2)? ? ? 用多项式逼近函数的可能性;? 对已知的函数,? 希望找一个多项式逼近到要求的精度. 三? Taylor( 1685—1731 )多项式: 分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式 定义 Taylor 多项式 及Maclaurin多项式 四? Taylor公式和误差估计: 称 ?为余项.? 称给出 ?的定量或定性描述的式 为函数 ?的Taylor公式. 1.? 误差的定量刻画( 整体性质 ) —— Taylor中值定理: 定理 6.9? ?设函数 ?满足条件: ⅰ)? 在闭区间上有直到阶连续导数; ⅱ)? 在开区间内有阶导数. 则对 ?使  ????? ????? ?. 证? （见教材） 称这种形式的余项为Lagrange型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具 Lagrange 型余项的Taylor公式. Lagrange 型余项还可写为 ?????????????? ???. ??时, 称上述Taylor公式为 Maclaurin 公式, 此时余项常写为 ?????????????? ???????????. ?关于Taylor公式中Lagrange型余项的进一步讨论可参阅: Alfono, G. Azpeitia, On the Lagrange? remeinder of the Taylor formula. Amer. Math. Monthly, 89(1982). ??????? 2.??? 误差的定性描述( 局部性质 ) —— Peano型余项: 定理2? 若函数在点的某邻域内具有阶导数, 且存在, 则  证? 设 ,? . 应用Hospital法则 次, 并注意到 ?存在, 就有  ???????????? ??????. 称 ?为Taylor公式的Peano型余项, 相应的Maclaurin公式的Peano型余项为 . 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式 ( 或Maclaurin公式 ). 四.? 函数的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展开: 例? 验证下列函数的Maclaurin公式 例1? ?. 例2? ????, ?（n=? ，f=sym('f(x)')? ，y=f(x)） clf, f=sym('sin(x)'); x=0:1/20:4; y=sin(x); z=taylor(f,'x=0',7); z1=taylor(f,'x=0',9); ezplot(z,[0,4])，hold on ezplot(z1,[0,4])，hold on plot(x,y,'r','linewidth',2)? ? ? 例3?? ? 例4?? ?? 例5???  例6??  例7?? 写出 函数的Maclaurin公式 , 并求 ?? 例8????? ?在时 的泰勒公式 例9??? 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式 . 解 ?????, ?? ??. 例10 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式 . ?解 ????, ??? ?????注意,  ??? ?. ?a） 泰勒定理是中值定理的推广，是含有高阶导数 的中值定理 b） 由泰勒定理余项和（c62）图示看出，其误差是较 ?高阶的无穷小。 c） 如果用更高阶的泰勒多项式来近似代替函数，不仅更精确而且能够在更大范围内近似代替函数。 ??? 例11? 求 ?精确到? 的近似值. 解? . 注意到?有 . 为使 , ?只要取 . 现取 ,? 即得数的精确到的近似值为 . 3.? 利用Taylor公式求极限:? 原理: 例12? 求极限??  例13 ??求极限 . 解? , ??? ; ???  ? ???.