§ 5??函数的凸性与拐点 一．??? 凸性的定义及判定： 1．? 凸性的定义：由直观引入.? 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义1?? 设函数在区间I上连续. 若对I? 和恒有  则称曲线 ?在区间I的凸函数, 反之, 如果总有  则称曲线 ?在区间I的凹函数. ?若在上式中, 当 时,? 有严格不等号成立, 则称曲线在区间上是严格凸 (或严格凹)的. 凸性的几何意义: 倘有切线，考虑 ?与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向. 引理 ? 为区间I上的凸函数的充要条件是:对I上任意三点: ?, 总有  证明: 必要性 充分性 定理6.13?? 设函数在区间I上可导,? 则下面条件等价: (i)? ?为I上凸函数 (ii)???为I上的增函数 (iii)????对I上的任意两点?有  证明 2．? 利用二阶导数判断曲线的凸向: 定理 6.14 ?设函数在区间内存在二阶导数,? 则在 内 ??? ⑴????在? ?内严格上凸; ?⑵????在 ?内严格下凸. 证法一? ( 用Taylor公式 )? 对?设,? 把在点展开成具Lagrange 型余项的Taylor公式,? 有  ???????????? ?? ?. 其中 ?和? 在 ?与 ?之间.? 注意到 ,? 就有 ?????? ???? ,? 于是,? 若有?上式中, 即 ?严格上凸. ?若有?上式中, ?即 严格下凸. ?证法二? ( 利用Lagrange中值定理. )? 若?则有↗↗. ?不妨设 ,? 并设 ,? 分别在区间和上应用Lagrange中值定理,? 有  . 有 ? 又由 ， ??? ?<,? ， 即?? ，? ?严格下凸. 可类证 ?的情况. 3．? 凸区间的分离: 的正、负值区间分别对应函数的下凸和上凸区间. 二.? 曲线的拐点:? 拐点的定义. 例1? 确定函数的上凸、下凸区间和拐点.?? ??[4]P154 E20 解? ?的定义域为 ????? ??.? 令, ?? 解得 ???????? ??????????. 在区间 内 ?的符号依次为 ，.? 拐点为:  ?倘若注意到本题中的是奇函数,? 可使解答更为简捷. ?Jensen不等式及其应用: Jensen不等式:? 设函数为区间上的凸函数,? 则对任意 , ?, 有Jensen不等式:?  且等号当且仅当 ?时成立. 证明?? 令 ,? 把表为点处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿前述定理的 证明，注意 ? 即得所证. 例1? ??证明:? 对?有不等式 . 例2? ??证明均值不等式:? 对,? 有均值不等式 . 证?? 先证不等式. 取 .? 在 内严格上凸, 由Jensen不等式,? 有 . 由 ↗↗ ?????. 对 ?用上述已证结果,? 即得均值不等式的左半端. 例3? ??证明: 对,? 有不等式 ????????????????? .?? ( 平方根平均值 ) 例4? ??设，证明 . 解?? 取, 应用Jensen不等式. Jensen不等式在初等数学中的应用举例:? 参阅 荆昌汉 文:? “凸(凹)函数定理在 不等式证明中的应用”,《数学通讯》1980.4. P39. 例6? 在⊿中,? 求证 ?. 解?? 考虑函数在 区间内凹,? 由Jensen不等式,? 有 . . 例7?? 已知.?? 求证 ????????????????? . 解?? 考虑函数,? 在内严格上凸. 由Jensen不等式, 有 ???????  ????? .?  ??????????????????? . ?例8?? 已知 ??求证 .? ( 留为作业 ) ? 解? 函数在内严格下凸. 由Jensen不等式, 有  .???