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§ 4 定积分在的物理的某些应用
学习目标：能够运用定积分解决物理问题
学习要点：引力，变力沿直线所做的功
学习基础：微元法，分部积分法，换元法
定积分在物理中有广泛的应用，本节主要利用上一节所介
绍的“微元法”把物理学上的一些问题转化为计算定积分的问题。
这里介绍几个有代表性的例子。
1 变力沿直线所作的功问题
从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力 F
作用，并且力 F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体
2
移动了距离 s时,力 F 对物体所作的功是, 如果
物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对
物体作功的问题，下面通过例 1说明如何计算变力所作的功。
所做的功。处时，计算电场力对它轴移到
处沿从个单位正电荷在电场中是常数），如图，当这
的作用力的大小为的地方，那么电场对它为点放在这个电场中距离原
荷，如果有一个单位正电作用力，由物理学知道，并对周围的电荷产生
处，它产生一个电场轴的原点的点电荷放在把一个带电量为例
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解：在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的
，取 为积分变量，它的变化区间为 在 上任取一小区间为
当单位正电荷从 移到 时，电场力对它所做的功
理论上可证明 因此做功微元为：
于是所求的功为
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液体静压力问题
例 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长为 与
高为 较长的底边与水面对齐，计算闸门的一侧所受的水压力。
解：如图所示，以闸门的长底边的中点为
原点且铅直向下作 轴，取 轴为积分变量，
它的变化范围为 在 上任取一小
区间 闸门上相应于该小区间的窄
条各点所受到水的压强近似于
这窄条的长度近似为 高为,因
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而这一窄条的一侧所受的水压力近似为：
可以证明 因此：
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压力微元 于是所求的压力为：
引力问题
例 设有一根长度为 线密度为 的均匀直棒，在其中垂线上距棒
单位处有一质量为 的质点。试计算该棒对质点 的引力。
解 取坐标系如图所示，使棒位于 轴上，
质点 位于 轴上 棒的中点为原点 取
为积分变量，它的变化区间
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把细直棒上相应于 的一段近似地看成质点，其质量为
与 相距 因此，可以按照两质点间的引力计算公式求出这
段细直棒对质点 的引力 从而求出 在水平方向分力
的近似值，即 且可证明
于是，细棒对质点 的引力在水平方向分力 的微元为：
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于是得到引力在水平方向的分力为：
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轴的负向 又由对称性可知，引力在铅直方向分力
§ 4 定积分在的物理的某些应用
学习目标：能够运用定积分解决物理问题
学习要点：引力，变力沿直线所做的功
学习基础：微元法，分部积分法，换元法
定积分在物理中有广泛的应用，本节主要利用上一节所介
绍的“微元法”把物理学上的一些问题转化为计算定积分的问题。
这里介绍几个有代表性的例子。
1 变力沿直线所作的功问题
从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力 F
作用，并且力 F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体
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移动了距离 s时,力 F 对物体所作的功是, 如果
物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对
物体作功的问题，下面通过例 1说明如何计算变力所作的功。
所做的功。处时，计算电场力对它轴移到
处沿从个单位正电荷在电场中是常数），如图，当这
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理论上可证明 因此做功微元为：
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解：如图所示，以闸门的长底边的中点为
原点且铅直向下作 轴，取 轴为积分变量，
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例 设有一根长度为 线密度为 的均匀直棒，在其中垂线上距棒
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