§ 2?? 由平行截面面积求体积 ?上节我们学习了平面图形面积的计算，还利用分割、求和的分析方法，导出了极坐标下平面图形的 面积公式：?  ?现在我们看下面一个空间立体，假设我们知道它在x 处截面面积为S(x)，可否利用类似于上节极坐标 下推导面积公式的思想求出它的体积？  如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似看作直柱体，其体积等于底面积乘高， 所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积。即? ???? 由此可得 ??????????? ? 这里，体积的计算的关键是求截面面积S(x) , 常用的方法先画出草图，分析图象求出S(x) 例 1? 求两圆柱???? ?所围的立体体积?  ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?  ? ? ? ? ? 先画出两圆柱的图象，图中看到的是所求立体的八分之一的图像, 该立体被平面? （因为两圆柱半径相同）所截的截面,? 是一个边长为?的正方形, 所以截面 面积 ?,考虑到是8 个卦限，所以有 ????int('8*(a^2-x^2)',0,'a') ? ??? ans = 16/3*a^3 ?  ?再看一个例题 例2??? 求椭圆柱? ????与坐标面 ,? 斜面 , 所围部分的体积. (cd7)? (cd8) ??由图可以看出,? 底面椭圆方程是：?   ? 截面是与yz平面平行的三角形 截面1（兰）三角形面积等于? 25； 截面2（红）三角形的底边平方?? ； 因两三角形相似 ?? ??????????? ??  ???????????? ?????  ????????? int('50*(1-(x^2)/16)',0,4) ? ????????? ans =400/3? ?例 3? ?绕极轴旋转所得的体积 ?若对心脏线作如图所示的次分割, 则每个小扇形旋转可看作小球带锥, 其对应的球带宽度 ? ?球带半径为 ?从而所以球带面积为 整个旋转体体积为? ????  ?????????  由分析和上面几个例题看出，只要知道了截面面积函数就可以用定积分来解决立体的体积计算问题。 我们在看一个演示，看能否从中找出计算抛物面被一平面所截后的体积。 ?????????? ?