§ 3 格林公式、曲线积分与路
径的无关性
教学内容,1.格林公式
2.第二型曲线积分与路线的无关性
3.全微分式及其原函数
教学难点,格林公式用于奇点的研究。
一、格林公式
1.区域 D边界曲线 L的方向
设区域 D的边界 L是由一条或几条光滑曲线组成
若沿边界行走时，区域 D总在左边，此时，行走
方向定义为 L的正方向，记为 L；
与正方向相反的称为 L的负方向，记为 -L。
D L D L
设闭区域 D 由分段光滑的曲线
L 围成,函数 ),(),( yxQyxP 及 在 D 上具有
一阶连续偏导数,则有
???
??
?
?
?
?
?
L
D
Q dyP dxdxdy
y
P
x
Q
)( (1)
其中
L
是
D
的取正向的边界曲线,
公式 (1) 叫做 格林公式,
定理 21.11
2.格林公式
证明思路,
① D既是 x-型区域也是 y-型区域
a b
c
d
D A B
C
E
O x
y
)(,1 xyyA C B ?曲线
)(,2 xyyAEB ?曲线
)(,1 yxxC A E ?曲线
)(,2 yxxC B E ?曲线
? ?)()(,),( 21 xyyxybxayxD ?????
? ?)()(,),( 21 yxxyxdycyxD ?????
② D由一按段光滑闭曲线围成
1L
2L3L
1D
2D3D
A B C
先把 D分为有限个类型①的子区域，再用可加性
③ D由几条闭曲线围成
D
C
F
A
G
B
E
1L
3L
AC G LECEELCECAFLBABBLABL 1312 ????????
1L
2L
3.几点说明
⑴格林公式的实质, 沟通了沿闭曲线的第
二型曲线积分与二重积分之间的联系,
( 2 ) 便于记忆形式,
??? ???
?
?
?
L
D
QdyP dxdx dy
QP
yx,
其中 L为 D的边界曲线，取正向
(3)格林公式用于封闭曲线
不是封闭线要添加直线或曲线成为封闭线
(4)格林公式可用于求平面图形的面积
?
????
L
xdyydxD
2
1
4.应用格林公式求曲线积分
步骤,1.先作图并检查是否封闭曲线；
2.找 P(x,y)及 Q(x,y),并检查是否满足定理的条件 ;
3.根据格林公式化为二重积分并求出其值 ;
4.若有添加直线或曲线，则要求出该直线
或曲线积分，再求题目要求的值。
L
x
y
o
A
B
D
例 1 计算 ?
AB
xdy,其中曲
线 AB 是半径为 r 的圆在
第一象限部分,
例 2 计算 ??
?
D
y
dxdye
2
,其中 D 是
以 )1,0(),1,1(),0,0( BAO 为顶点
的三角形闭区域,
x
y
o
AB
D
例 3 计算 ?
?
?
L
yx
y d xxdy
22
,其中 L 为
(1) 任一 不 包含 原点 的 闭 区域 的 边界 线,L 的
方 向为逆时针方向,
(2) 任一 包含 原点 的 闭 区域 的 边界 线, L 的方
向为逆时针方向,
O x
y
L
O x
y
1L
L
例 4 计算抛物线 )0()( 2 ??? aaxyx 与 x 轴
所围成的面积,
)0,(aA
N
M
设开区域
D
是一个单连通域,函数
),(),,( yxQyxP 在 D 内具有一阶连续偏导数,
则以下四个条件等价：
定理 21.12
? ?
的起点与终点有关。与路径无关，只与
曲线积分内任一按段光滑曲线对
有线内任一按段光滑封闭曲沿
L
Q d yP d x
LDii
Q d yP d x
LDi
L
L
?
?
?
??
,)(
0
,
x
Q
y
P
Div
Q d yP d xduD
yxuDQ d yP d xiii
?
?
?
?
?
??
?
内处处成立在
内有分，即在
的全微内某一函数是
)(
),()(