第四章 函数连续性 §1 连续性的概念 内容： 1? ?函数在点连续性 间断点及其的分类 ??区间上的连续函数 重点：函数在点的连续性 难点：连续性的证明 要求：理解连续的定义，间断点的分类，会用用定义证明函数的连续性。 一? 函数在一点的连续的定义 先回顾一下函数在点的极限 设函数在的某个空心邻域内有定义，?是一个确定的数，若对，当??时，都有 ?，则称 ?在 ?时，以 为极限。 这里可以有三种情况： 1） 无定义，比如上章讲过的特殊极限  2），比如 ， ? ? ? ? ?  ?  ? ?2）的情形  ?  ?   ? ?1）的情形 ?    3） 3）的情形     ? ?对1）、2）两种情况，曲线在 ?处都出现了间断; 第3）种情况与前两种情况不同，曲线在处连绵不断 ，我们称这种情况即：时， 在 ?处连续。为此给出函数在点 连续的定义 定义1 设函数在的某邻域内有定义，若： ??????????????????? ?  则称函数 ?在 ?点连续。 例如 函数? ?在点 ?连续，因为 ， 又如，函数: ?在?处连续。因为  说明：1、定义1的等价定义 若记 ：?，则 ?可等价的叙述为 ，于是函数在 ?点连续的定义又可以叙述为: 定义1’? 设函数 ?在 ?的某邻域内有定义，若: ? 则称在点连续。 另外，由于函数在点连续是用极限形式表述的，若将 改用语言叙述，则 ?在 ?点连续又可以定义为： 定义1” 设函数在的某邻域内有定义，若对，使得当时，都有 :???????????????? 则称在点连续。 注意: 函数在点连续，不仅要求在点有定义，而且要求时， ?的极限等于 ，因此这里在极限的“” 语言叙述中把  换成了: 。 最后， 式又可表示为,可见 在 连续意味着极限运算 与对应法则 ?的可交换性。 例1证明函数 在点 连续,其中 ?为狄利克雷函数。 证明 ?由 ?及 ，对于任意的 ，为使  所以只要取 ，即可按定义推得在连续。 2、函数在一点的左、右连续的定义 相应于在的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定义如下： 定义2 设函数 ?在 ?的某左（右）邻域内有定义，若：?（ ?） 则称 在 ?点左（右）连续。 由极限与单侧极限的关系不难得出： 3、函数在点连续与函数在该点左、右连续的关系： 定理4.1 函数在点连续的充分必要条件为： 在 ?点既左连续又右连续。（事实上： ） 定理4.1的等价的否定叙述： 函数在点不连续的充分必要条件为： 在 ?点或不左连续或不右连续。 例2 讨论函数 ?在的连续性。     ? ? ? ? ? 解 因为：? ?? ??所以 ?在 ?右连续，但不左连续，从而 在 不连续。 ?前面我们学习函数在一点上连续的有关定义，下面我们来学习 ?二 函数的间断点（不连续点）及其分类 1、函数不连续点的定义 ?定义3 设函数在某内有定义，若在点无定义，或在点有定义但不连续，则称点?为函数的间断点或不连续点。 由连续的定义知，函数 ?在 ?点不连续必出现如下3种情形: 1） ，而在点无定义，或有定义但 2） 左、右极限都存在，但不相等, 称： ?为跳跃度或跃度。 3） 左、右极限至少一个不存在 据此，函数?的间断点可作如下分类： 2、间断点及其分类 1）、可去间断点? 对于情况1），即若：（存在），而在点无定义，或有定义但，则称： 为可去间断点（或可去不连续点）； 例如： ?? , 解： 由于 所以??是 ?的可去间断点。 ? ? ? ?  ?  ? ?  ?  ?   ?  ? ?  ? ?　?再如： ? ，?是 ?的可去间断点。（事实上， 。） 2）、跳跃间断点? 对于情况2），若的左、右极限都存在，但不相等（即： 存在，但），则称： 为的跳跃间断点； 注：情况1）、2）（即：可去间断点与跳跃间断点统称的第一类间断点。 例如?，因为： ， （这里：）。 所以所有整数点均为的跳跃间断点，跳跃度等1. ????????????????? ? 例 ? 因为： ? 所以 ?在 处为跳跃间断点，跳跃度等2.如图： ??? 3）．情况3）即若至少有一个不存在，则称为的第二类间断点。 例 ?不存在，所以 是的第二类不连续点。 ?三 区间上的连续函数 定义 若函数在区间I上每一点都连续，则称为I上的连续函数,对于区间端点上的连续性 则按左、右连续来确定。 例如 ，?是内的连续函数，在的每一点都连续，在 左连续性，在 右连续性，因而是 ?上的连续函数（参见上章§1的例题）。 定义 如果 在区间 上仅有有限个第一类不连续点，则称函数在区间 上按段连续。 例如 ?是按段连续函数。 例 3 讨论黎曼函数 ?????? ?的连续性. 证明 设为无理数，任给，满足正数显然只有有限个(但至少有有一个,如),从而使的有理数只有有限个(至少有有一个,如),设为,取：, (显然)则对任何 当x为有理数时有 ,当x为无理数时 .于是，对任何，总有?  这就证明了在无理点处连续。 现设为内任一有理数，取，对任何正数（无论多么小），在内总可取无理 数，使得 所以在任何有理点处都不连续。 ? 小结：1）函数在一点连续的三个等价定义； 2）函数的左右连续性； 3）不连续的分类：可去不连续点；跳跃不连续；第二类不连续点； 4）区间上连续函数的定义。