§ 2,直角坐标系下二重积分的 计算
教学目的,1.熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算；
2.懂得用二重积分求面积及体积。
教学重点：一般区域上二重积分的计算
教学难点：把二重积分化为不同次序的累次积分
一,矩形区域上二重积分的计算
? ? ???? ??
??
b
a
d
c
b
a
d
c
D
dxyxfdydyyxfdxd x d yyxf
dcbaDyxf
),(),(),(
],[],[),( 上连续，则在若
即：矩形区域上的二重积分可以化为任何一种次序的累次积分
此时，选择哪种次序就看 被积函数 （积分要简单）
]1,0[]1,0[,1.1 ????? Dd x d yxyx
D
其中求例
二,一般区域上二重积分的计算
1.x-型区域与 y-型区域
如果积分区域为：,bxa ?? ).()( 21 xyx ?? ??
其中函数, 在区间 上连续, )(1 x? )(2 x? ],[ ba
［ X－型］
区域
)(2 xy ??
a b
D
)(1 xy ??
D
ba
)(2 xy ??
)(1 xy ??
X型区域的特点,穿过区域且平行于 y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点,
如果积分区域为：,dyc ?? ).()( 21 yxy ?? ??
其中函数, 在区间 上连续, )(
1 y? )(2 y? ],[ dc
)(2 yx ??)(1 yx ?? D
c
d
c
d
)(2 yx ??
)(1 yx ?? D
［ Y－型］
区域
Y型区域的特点, 穿过区域且平行于 x轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点,
若区域如图,则必须分割,
在分割后的三个区域上分别
使用积分公式
.
321
???????? ???
DDDD
2.一般区域上二重积分的计算
① 积分区域为 X-型区域
连续，则在、连续，其中
上型区域在若
],[)()(
)()(,),(
21
21
baxx
xyxbxaxyxf
??
?? ?????
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf ?
?
?
为曲顶柱体的体积．
为底，以曲面的值等于以
),(
),(
yxf
zDdyxf
D
??? ??
应用计算“平行截
面面积为已知的立
体求体积”的方法,
a 0x b
z
y
x
)( 0xA
),( yxfz ?
)(1 xy ??
)(2 xy ??
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf ?
?
?得
先 y后 x的累次积分
② 积分区域为 Y-型区域
连续，则在、连续，其中
上型区域在若
],[)()(
)()(,),(
21
21
dcyy
yxydycyyxf
??
?? ?????
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf ?
?
?
先 x后 y的累次积分
题型 1：改变累次积分的次序
步骤, (1)先根据已知累次积分写出积分区域并作图；
(2)根据积分区域及图写出边界曲线的方程；
(3)根据边界曲线的方程写出另一积分次序。
xy ?? 1
例 1 改变积分 ??
? x
dyyxfdx
1
0
1
0
),( 的次序,
xy ?? 2
22 xxy ??
例 2 改变积分
????
??
?
xxx
dyyxfdxdyyxfdx
2
0
2
1
2
0
1
0
),(),(
2
的次序,
例 3 改变积分 )0(),(
2
0
2
2 2
?? ?
?
adyyxfdx
a ax
xax
的次序,
a2a
a2
题型 2：写出两个不同次序的累次积分
步骤, (1)先根据积分区域作图；
(2)根据积分区域及图写出边界曲线的方程；
(3)根据边界曲线的方程写出不同的积分次序。
P222习题 1（ 2）
注意,(1)最后的积分限一定是常数；
(2)先对什么变量积分，积分限一定是另一个变量的函数。