§ 2 无穷积分的性质与收敛判别
教学内容,
1,无穷积分的性质
2,无穷积分收敛的判别
教学重点：无穷积分的比较判别法与柯西判别法。
教学难点：应用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别反常积分。
一, 无穷积分的性质
存在的柯西准则可得是否存在极限。由极限
时当收敛与否取决于，则设 ???? ?? ?? uuFdxxfdxxfuF
a
u
a
)()()()(
它两种情形类似可得。的性质及收敛判别，其以下只给出说明,? ??a dxxf )(
1,无穷积分收敛的柯西准则
定理 11.1,
?
?
???
??
?
?? ?
?
??
2
1
2 1
)()()(
0)(
21
u
u
u
a
u
a
a
dxxfdxxfdxxf
GuuaG
dxxf
，便有、只要，存在
，给收敛的充要条件是：任无穷积分
2,无穷积分的性质
? ??
?
??
?? ????
??
????
???
?
a aa
a
aa
dxxfkdxxfkdxxfkxfk
dxxfkxfk
kkdxxfdxxf
)1()()()]()([
)]()([
)()(
22112211
2211
2121
也收敛，且
为任意常数，则、收敛，都与若
性质 1,
性质 2,
分。其中右边第一项是定积
同时发散），且有同敛态（即同时收敛或
与，则上可积，在任何有限区间若
? ??
?
?
?? ??
??
??
??
?
a b
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
dxxf
dxxfbauaf
)2()()()(
)(
)(],[
3,无穷积分收敛的充要条件
?
?
?
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?
?
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??
u
a
dxxf
GuaG
dxxf
)(
0)(
，总有只要，存在
，给收敛的充要条件是：任无穷积分
4,无穷积分的绝对收敛与条件收敛
为收敛，则称若无穷积分 ?? ???? aa dxxfdxxf )()(
为收敛，则称发散，而若 ?? ? ???? ?? aa a dxxfdxxfdxxf )()()(
绝对收敛；
条件收敛。
性质 3,
??
?
?
????
??
??
?
aa
a
a
dxxfdxxf
dxxf
dxxfuaf
)3()()(
)(
)(],[
亦必收敛，且有
收敛，则上可积，则有在任何有限区间若
说明：性质 3指出：绝对收敛的无穷积分必收敛，但反之未必。
（今后举例说明）
二, 无穷积分敛散性的判别
时条件：当 0)( ?xf
1,无穷积分收敛的充要条件
?? ?? uaa dxxfdxxf 有上界收敛的充要条件是：无穷积分 )()(
2,无穷积分收敛的比较判别法
（ 1）不等式形式
定理 11.2,
必发散。发散时，）当（
必收敛；收敛时，）当则（
，
上可积，且满足有限区间
都在任何和上的两个非负函数设定义在
??
? ?
????
?? ??
????
??
aa
a a
dxxgdxxf
dxxfdxxg
axxgxf
ua
gfa
)()(2
)()(1
),[)()(
],[
),[
定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散。（与级数类似）
例 1,
。的收敛性讨论 ? ?? ?0 21 s i n dxxx
解,
：的收敛性先讨论 ? ?? ?0 21 s in dxxx
? ?? ???????? 0 222 21 1),0[,1 11 s in 收敛，，以及由于 ?dxxxxx x
? ?? ?0 21 s i n2.11 收敛。知道由定理 dxx x
）由性质必收敛。绝对收敛，从而即 3(1 s in1 s in0 0 22? ??? ?? ?? dxx xdxx x
（ 2）极限形式
推论 1,
则有：上可积，若有任何有限区间
且它们都在上定义在和设
,
)(
)(lim],[
,0)(,0)(,),[
c
xg
xfua
xgxfagf
x
?
????
???
也发散。发散可推知时，由）当（
也收敛；收敛可推知时，由）当（
同敛态；与时，）当（
??
??
? ?
????
????
?? ??
???
?
????
aa
aa
a a
dxxfdxxgc
dxxfdxxgc
dxxgdxxfc
)()(3
)()(02
)()(01
注意, 1.推论中，当 c=0时只能判别收敛；当 c为正无穷大时
只能判别发散；
2.用此推论时要找分母的 g(x)且 敛散性要知道；的? ??a dxxg )(
3.找 g(x)的时候最好使极限是一个非 0的常数。
可以得柯西判别法特殊地，取 pxxg 1)( ?
3,无穷积分收敛的柯西判别法
推论 2,
上可积，则有：且在任何有限区间
上定义在不等式形式）设
],[
,0)(,)0(),[(
ua
xfaaf ????
发散。时且）当（
收敛；时且）当（
?
?
??
??
?????
?????
ap
ap
dxxfpax
x
xf
dxxfpax
x
xf
)(1),[,
1
)(2
)(1),,[,
1
)(1
推论 3,
，则有：上可积，且有限区间
在任何上定义在极限形式）设
??
????
???
)(lim],[
,0)(,)0(),[(
xfxua
xfaaf
p
x
发散。时）当（
收敛；时）当（
?
?
??
??
?????
?????
a
a
dxxfp
dxxfp
)(,0,12
)(,0,11
?
?
注意, 1.实际应用中，常用推论 3；
2.用推论 3时要找 p,使同时满足 p及 的条件；?
3.找 p的时候最好使极限是一个非 0的常数。
例 2,讨论下列无穷积分的收敛性
?? ???? ? ?0 5
2
1 1)2(1 dxx
xdxex x ；）（ ?
解,例子中被积函数都是非负函数，所以可用推论 3
均收敛。）对任何实数得（所以由推论，此时
，都有因为对任意实数
??
?
?
?
13,02
0limlim)1(
2
2
??
???
?
???
?
???
p
e
xexx
xx
x
x
）是发散的。得（所以由推论，此时
，因为
23,121
1
1
lim)2(
5
2
2
1
??
?
?
?
???
?p
x
x
x
x
三, 无穷积分敛散性的狄利克雷判别法和阿贝耳判别法
为一般函数）及其中条件：适用于 gfdxxgxfa ()()(? ??
1,无穷积分收敛的狄利克雷判别法
定理 11.3,(狄利克雷判别法）
收敛。，则时单调趋于当
上在，上有界在若
?
?
??
???
?????
a
u
a
dxxgxfx
axgadxxfuF
)()(0
),[)(),[)()(
定理 11.4,(阿贝耳判别法）
3,无穷积分收敛的阿贝耳判别法
收敛。则上单调有界在收敛若 ?? ???? ?? aa dxxgxfaxgdxxf )()(,),[)(,)(
注意, 1.实际中，这两个判别法常用于判别条件收敛的无穷积分；
2.用这两个判别法关键是选择适当的 f(x)及 g(x)；
3.在狄利克雷判别法中，一般令 f(x)为 sinx或 cosx；
。般取在阿贝耳判别法中，一 )1(1)( ?? pxxf p
例 3,。绝对收敛或条件收敛与讨论 ? ??? ?? ?
1 1 )0(
c o ss in pdx
x
xdx
x
x
pp
说明：只讨论前者，后者类似可得。
解题思路：由于被积函数不是非负函数，故不能直接用比较判别
法或柯西判别法，结合例 1，我们可以先考虑判别它
是否绝对收敛，若不是再考虑用上述的狄利克雷判别
法或阿贝耳判别法。
解,
：的收敛性先讨论 ? ??1 s in.1 dxx xp
? ?? ????? 1 11),1[,1s in1 时收敛，当，以及由于）（ pdxxxxx x ppp
? ??1 s in2.11 收敛。知道由定理 dxx xp
? ??? 1 s i n1 绝对收敛。时，即当 dxx xp p
时当 10)2( ?? p
，由于 ),1[,2 2c o s2 1s i ns i n
2
?????? xx xxx xx x pp
，）（事实上
收敛。由狄利克雷判别法知：
12s i n2s i n
2
1
2c o s1:(
2
2c o s
1
1
????
?
??
ux d x
dx
x
x
u
。）时单调趋于当 02 1)2( ???xx
? ???? 1 s i n10 均收敛。时当由狄利克雷判别法知,dxx xp p
，时单调趋于时当当而 001 ???? xpx p
，，有由于对任意 2c o s1c o ss i n1 1 ???? ? ux d xu u
是发散的，而 dxx? ??1 21
?? ???? ? 11 s i n2.11)2 2c o s2 1( 发散。得发散，从而由定理所以 dxx xdxx xx p
? ??1 s in.2 的收敛性：再看 dxx xp
时当 10 ?? p
综 1.(2)及 2.知,? ????
1
s i n10 条件收敛。时当 dx
x
xp
p
利用此例可以解下例
例 4,证明下列无穷积分都是条件收敛的,
，???1 2s i n dxx,???1 2c o s dxx,s i n1 4??? dxxx
证,2xt ?设
?? ???? ? 11 2 2s ins in,dtttdxx ?? ???? ? 11 2 2c o sc o s,dtttdxx
? ??1 2s i n3 dxx知道：由例 均条件收敛。及 ? ??1 2co s dxx
?? ???? 1 21 4 s i n21s i n dttdxxx ＝
也是条件收敛的。由上面得到的结果知 ? ??1 4s i n dxxx
说明：从此例可以看到,
。无穷积分仍有可能收敛
甚至是无界的，零时被积函数即使不趋于当,???x
教学内容,
1,无穷积分的性质
2,无穷积分收敛的判别
教学重点：无穷积分的比较判别法与柯西判别法。
教学难点：应用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别反常积分。
一, 无穷积分的性质
存在的柯西准则可得是否存在极限。由极限
时当收敛与否取决于，则设 ???? ?? ?? uuFdxxfdxxfuF
a
u
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)()()()(
它两种情形类似可得。的性质及收敛判别，其以下只给出说明,? ??a dxxf )(
1,无穷积分收敛的柯西准则
定理 11.1,
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，便有、只要，存在
，给收敛的充要条件是：任无穷积分
2,无穷积分的性质
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2211
2121
也收敛，且
为任意常数，则、收敛，都与若
性质 1,
性质 2,
分。其中右边第一项是定积
同时发散），且有同敛态（即同时收敛或
与，则上可积，在任何有限区间若
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，总有只要，存在
，给收敛的充要条件是：任无穷积分
4,无穷积分的绝对收敛与条件收敛
为收敛，则称若无穷积分 ?? ???? aa dxxfdxxf )()(
为收敛，则称发散，而若 ?? ? ???? ?? aa a dxxfdxxfdxxf )()()(
绝对收敛；
条件收敛。
性质 3,
??
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????
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dxxfdxxf
dxxf
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)3()()(
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亦必收敛，且有
收敛，则上可积，则有在任何有限区间若
说明：性质 3指出：绝对收敛的无穷积分必收敛，但反之未必。
（今后举例说明）
二, 无穷积分敛散性的判别
时条件：当 0)( ?xf
1,无穷积分收敛的充要条件
?? ?? uaa dxxfdxxf 有上界收敛的充要条件是：无穷积分 )()(
2,无穷积分收敛的比较判别法
（ 1）不等式形式
定理 11.2,
必发散。发散时，）当（
必收敛；收敛时，）当则（
，
上可积，且满足有限区间
都在任何和上的两个非负函数设定义在
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定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散。（与级数类似）
例 1,
。的收敛性讨论 ? ?? ?0 21 s i n dxxx
解,
：的收敛性先讨论 ? ?? ?0 21 s in dxxx
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? ?? ?0 21 s i n2.11 收敛。知道由定理 dxx x
）由性质必收敛。绝对收敛，从而即 3(1 s in1 s in0 0 22? ??? ?? ?? dxx xdxx x
（ 2）极限形式
推论 1,
则有：上可积，若有任何有限区间
且它们都在上定义在和设
,
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也收敛；收敛可推知时，由）当（
同敛态；与时，）当（
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注意, 1.推论中，当 c=0时只能判别收敛；当 c为正无穷大时
只能判别发散；
2.用此推论时要找分母的 g(x)且 敛散性要知道；的? ??a dxxg )(
3.找 g(x)的时候最好使极限是一个非 0的常数。
可以得柯西判别法特殊地，取 pxxg 1)( ?
3,无穷积分收敛的柯西判别法
推论 2,
上可积，则有：且在任何有限区间
上定义在不等式形式）设
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推论 3,
，则有：上可积，且有限区间
在任何上定义在极限形式）设
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收敛；时）当（
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)(,0,12
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?
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注意, 1.实际应用中，常用推论 3；
2.用推论 3时要找 p,使同时满足 p及 的条件；?
3.找 p的时候最好使极限是一个非 0的常数。
例 2,讨论下列无穷积分的收敛性
?? ???? ? ?0 5
2
1 1)2(1 dxx
xdxex x ；）（ ?
解,例子中被积函数都是非负函数，所以可用推论 3
均收敛。）对任何实数得（所以由推论，此时
，都有因为对任意实数
??
?
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13,02
0limlim)1(
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三, 无穷积分敛散性的狄利克雷判别法和阿贝耳判别法
为一般函数）及其中条件：适用于 gfdxxgxfa ()()(? ??
1,无穷积分收敛的狄利克雷判别法
定理 11.3,(狄利克雷判别法）
收敛。，则时单调趋于当
上在，上有界在若
?
?
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u
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axgadxxfuF
)()(0
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定理 11.4,(阿贝耳判别法）
3,无穷积分收敛的阿贝耳判别法
收敛。则上单调有界在收敛若 ?? ???? ?? aa dxxgxfaxgdxxf )()(,),[)(,)(
注意, 1.实际中，这两个判别法常用于判别条件收敛的无穷积分；
2.用这两个判别法关键是选择适当的 f(x)及 g(x)；
3.在狄利克雷判别法中，一般令 f(x)为 sinx或 cosx；
。般取在阿贝耳判别法中，一 )1(1)( ?? pxxf p
例 3,。绝对收敛或条件收敛与讨论 ? ??? ?? ?
1 1 )0(
c o ss in pdx
x
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x
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pp
说明：只讨论前者，后者类似可得。
解题思路：由于被积函数不是非负函数，故不能直接用比较判别
法或柯西判别法，结合例 1，我们可以先考虑判别它
是否绝对收敛，若不是再考虑用上述的狄利克雷判别
法或阿贝耳判别法。
解,
：的收敛性先讨论 ? ??1 s in.1 dxx xp
? ?? ????? 1 11),1[,1s in1 时收敛，当，以及由于）（ pdxxxxx x ppp
? ??1 s in2.11 收敛。知道由定理 dxx xp
? ??? 1 s i n1 绝对收敛。时，即当 dxx xp p
时当 10)2( ?? p
，由于 ),1[,2 2c o s2 1s i ns i n
2
?????? xx xxx xx x pp
，）（事实上
收敛。由狄利克雷判别法知：
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，，有由于对任意 2c o s1c o ss i n1 1 ???? ? ux d xu u
是发散的，而 dxx? ??1 21
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? ??1 s in.2 的收敛性：再看 dxx xp
时当 10 ?? p
综 1.(2)及 2.知,? ????
1
s i n10 条件收敛。时当 dx
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利用此例可以解下例
例 4,证明下列无穷积分都是条件收敛的,
，???1 2s i n dxx,???1 2c o s dxx,s i n1 4??? dxxx
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说明：从此例可以看到,
。无穷积分仍有可能收敛
甚至是无界的，零时被积函数即使不趋于当,???x
