1
第一章 实数集与函数
§ 1 实数
教学内容：实数的概念与性质；绝对值与其不等式性质
重点：绝对值与其不等式性质
要求：理解绝对值不等式性，会解绝对值不等式。
第一章 实 数集与函数
§ 1 实 数
数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概
念
一,实 数及其性 质,
回 顾 中学中 关 于 有理 数 和无理数的 定 义,
有理数,
(,0)p q q
?
??
?
?
?
p
能 用 互 质 分 数 为 整 数, 表 示 的 数 ；
q
有 限 十 进 小 数 或 无 限 十 进 循 环 小 数 表 示 的 数
若 规 定,
0 1 2 0 1 2
., ( 1 ) 99 9
nn
a a a a a a a a??L L L L
则 有限十 进 小数都能表示成无限循 环 小数 。
2
则有限十进小数都能表成无限循环小数。
例如,001.2 记为 ?999000.2 ； 0 记为 ?000.0 ； 8? 记为 999.7?
实数大小的比较
定义 1 给定两个 非 负实 数
????
nn
bbbbyaaaax
210210
.,,??
其中
kk
ba,为非负整数,9,0 ??
kk
ba 。若由
1 ） ?,2,1,0,?? kba
kk
则称 x 与 y 相等，记为 yx ?
2 ） 若存在非负整数 l,使得 ),,2,1,0(,lkba
kk
???,而
11 ??
?
ll
ba,
则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 yx ? （或 xy ? ）。
规定任何非负实数大于任何负实数； 对于负实数 yx,，若按定义 1 有
yx ???,则称 xy ?
实 数的有理数近似表示
定义 2 设 ??
n
aaaax
210
.? 为非负实数，称有理数
nn
aaaax ?
210
.?
非 数
） 与
）,
有
实 数的有理数近似表示
设
3
实数大小的比较
定义 1 给定两个 非 负实 数
????
nn
bbbbyaaaax
210210
.,,??
其中
kk
ba,为非负整数,9,0 ??
kk
ba 。若由
1 ） ?,2,1,0,?? kba
kk
则称 x 与 y 相等，记为 yx ?
2 ） 若存在非负整数 l,使得 ),,2,1,0(,lkba
kk
???,而
11 ??
?
ll
ba,
则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 yx ? （或 xy ? ）。
规定任何非负实数大于任何负实数； 对于负实数 yx,，若按定义 1 有
yx ???,则称 xy ?
实 数的有理数近似表示
定义 2 设 ??
n
aaaax
210
.? 为非负实数，称有理数
nn
aaaax ?
210
.?
下页
实数大小的比较
定义 给定两个 非 负实 数
其中 为非负整数,。若由
） 则称 与 相等，记为
） 若存在非负整数,使得,而,
则称 大于 （或 小于 ），分别记为 （或 ）。
规定任何非负实数大于任何负实数； 对于负实数,若按定义 有
，则称
实 数的有理数近似表示
定义 设 为非负实数，称有理数
为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
nnn xx 10
1??
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数 ?? naaaax 210,??
x 的 n 位不足近似值规定为,nnn aaaax 10 1,210 ??? ? ；
x 的 n 位过剩近似值规定为,nn aaaax ?210,??
比如 2 1, 4 1 4 2? L, 则
1, 4,1, 4 1,1, 4 1 4,1, 4 1 4 2,L 称 为 2 的 不足近似 值 ；
1, 5,1, 4 2,1, 4 1 5,1, 4 1 4 3,L 称 为 2 的 过 剩近似 值 。
命 题 设 0 1 2 0 1 2.,.x a a a y b b b?? LL 为?个 实 数,则
,nnx y n x y? ? ?存 在 非 负 整 数 使 得
为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
nnn
xx
10
1
??
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数 ??
n
aaaax
210
.??
x 的 n 位不足近似值规定为：
nnn
aaaax
10
1
.
210
??? ? ；
x 的 n 位过剩近似值规定为：
nn
aaaax ?
210
.??
比如 2 1,4 1 4 2? L, 则
1,4,1,4 1,1,4 1 4,1,4 1 4 2,L 称 为 2 的 不足近似 值 ；
1,5,1,4 2,1,4 1 5,1,4 1 4 3,L 称 为 2 的 过 剩近似 值 。
命 题 设
0 1 2 0 1 2
.,.x a a a y b b b?? LL 为?个 实 数,则
,
nn
x y n x y? ? ?存 在 非 负 整 数 使 得
4
为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
nnn xx 10
1??
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数 ?? naaaax 210,??
x 的 n 位不足近似值规定为,nnn aaaax 10 1,210 ??? ? ；
x 的 n 位过剩近似值规定为,nn aaaax ?210,??
比如 2 1, 4 1 4 2? L, 则
1, 4,1, 4 1,1, 4 1 4,1, 4 1 4 2,L 称 为 2 的 不足近似 值 ；
1, 5,1, 4 2,1, 4 1 5,1, 4 1 4 3,L 称 为 2 的 过 剩近似 值 。
命 题 设 0 1 2 0 1 2.,.x a a a y b b b?? LL 为?个 实 数,则
,nnx y n x y? ? ?存 在 非 负 整 数 使 得
例 1 设 yx,为实数,yx ?,证明：存在有理数 r 满足
yrx ??
证明 由 ?? yx 存在非负整数 n,使得 nn yx ?,取 2 nn yxr ??
则 r 显然为有理数，且
yyrxx nn ????
实 数的一些主要性 质
1 四 则? 算封 闭 性,
2 三? 性 ( 即有序性 ), 任何两个实数 ba,，必满足下述三个关系之一,
bababa ???,,
3 实 数大小由 传递 性,即,a b b c? ? ?则 有 a c,
4 A c h i m e d e s 性,,,,0,,bnanabba ???????? NR
5 稠密性, 有理数和无理数的稠密性,给 出稠密性的定 义,
6 实 数集的几何表示, 数 轴,
例
,0,.
0,a < b +
a b a b
ab
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
n
nn
xx
10
1
??
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数 ??
n
aaaax
210
.??
x 的 n 位不足近似值规定为：
n
nn
aaaax
10
1
.
210
??? ? ；
x 的 n 位过剩近似值规定为：
nn
aaaax ?
210
.??
比如 2 1, 4 1 4 2? L, 则
1, 4,1, 4 1,1, 4 1 4,1, 4 1 4 2,L 称 为 2 的 不足近似 值 ；
1, 5,1, 4 2,1, 4 1 5,1, 4 1 4 3,L 称 为 2 的 过 剩近似 值 。
命 题 设
0 1 2 0 1 2
.,.x a a a y b b b?? LL 为?个 实 数,则
,
nn
x y n x y? ? ?存 在 非 负 整 数 使 得
2
的
的
的 ；
的
,则
称 为 的 值 ；
称 为 的 过 值 。
命 题 设 为 实 则
存 在 非 负 整 数 使 得
5
例 1 设 yx,为实数,yx ?,证明：存在有理数 r 满足
yrx ??
证明 由 ?? yx 存在非负整数 n,使得
nn
yx ?,取
2
nn
yx
r
?
?
则 r 显然为有理数，且
yyrxx
nn
????
实 数的一些主要性 质
1 四 则? 算封 闭 性,
2 三? 性 ( 即有序性 ), 任何两个实数 ba,，必满足下述三个关系之一,
bababa ???,,
3 实 数大小由 传递 性,即,a b b c? ? ?则 有 a c,
4 A c h i m e d e s 性,,,,0,,bnanabba ???????? NR
5 稠密性, 有理数和无理数的稠密性,给 出稠密性的定 义,
6 实 数集的几何表示, 数 轴,
例
,0,.
0,a < b +
a b a b
ab
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
运
6
例 1 设 yx,为实数,yx ?,证明：存在有理数 r 满足
yrx ??
证明 由 ?? yx 存在非负整数 n,使得 nn yx ?,取
2
nn yxr ??
则 r 显然为有理数，且
yyrxx nn ????
实 数的一些主要性 质
1 四 则? 算封 闭 性,
2 三? 性 ( 即有序性 ), 任何两个实数 ba,，必满足下述三个关系之一,
bababa ???,,
3 实 数大小由 传递 性,即,a b b c? ? ?则 有 a c,
4 A c h i m e d e s 性,,,,0,,bnanabba ???????? NR
5 稠密性, 有理数和无理数的稠密性,给 出稠密性的定 义,
6 实 数集的几何表示, 数 轴,
例
,0,.
0,a < b +
a b a b
ab
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
二, 绝对值与不等式
绝对值 定 义,
,0
||
,0
aa
a
aa
??
? ?
???
从数 轴 上看 的 绝对值 就是到原点的距 离,
a 0 - a
7
绝对值 的一些主要性 质
| | | | 0 0 | | 0
- < < ; | |,0
4.
5, | | | | | |
||
6,,0
||
a a a a
a a a
a h h a h a h h a h h
a b a b a b
a b a b
aa
b
bb
? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
??
1,当 且 仅 当 时
2, - | | | |
3, | |
8
性 质 4 （ 三角不等式 ） 的 证 明,
? ? ? ?
??
?
?
由 性 质 2 - | a | a | a |,- | b | b | b |
两 式 相 加 - ( | a | + | b | ) a + b | a | + | b |
由 性 质 3 上 式 等 价 于 | a + b | | a | + | b |
把 上 式 的 b 换 成 - b 得 | a - b | | a | + | b |
由此 可 推出
??
???
????
???????
|||)(|||
)(|)(|
AxfA
AxfAAxf
9
三, 几个重要不等式,
（ 1 ）,2
22
abba ??,1 s i n ?x, s i n xx ?
（ 2 ） 对,,,,
21
?
?? R
n
aaa ? 记
,
1
)(
1
21
?
?
?
???
?
n
i
i
n
i
a
nn
aaa
aM
?
( 算 术 平均 值 )
,)(
1
1
21
n
n
i
i
n
ni
aaaaaG
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
? ( 几何平均 值 )
,
111
1
111
)(
1121
??
??
??
???
?
n
i i
n
i in
i
a
n
anaaa
n
aH
?
( 调 和平均 值 )
有均 值 不等式, ),( )( )(
iii
aMaGaH ?? 等号当且 仅 当
n
aaa ??? ?
21
时 成立,
（ 3 ） B e r n o u l l i 不等式, ( 在中学已用数学 归纳 法 证 明 过 )
对,0x?? 由二 项 展 开 式
23
( 1 ) ( 1 ) ( 2 )
( 1 ) 1,
2 ! 3 !
nn
n n n n n
x n x x x x
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?L
有, ( 1 )
n
h?? 上式右端任何一 项,
10
三, 几个重要不等式,
（ 1 ）,2
22
abba ??,1 s i n ?x, s i n xx ?
（ 2 ） 对,,,,
21
?
?? R
n
aaa ? 记
,
1
)(
1
21
?
?
?
???
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n
i
i
n
i
a
nn
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( 算 术 平均 值 )
,)(
1
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21
n
n
i
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?
?
?
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?
?
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? ( 几何平均 值 )
,
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n
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n
i in
i
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n
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( 调 和平均 值 )
有均 值 不等式, ),( )( )(
iii
aMaGaH ?? 等号当且 仅 当
n
aaa ??? ?
21
时 成立,
（ 3 ） B e r n o u l l i 不等式, ( 在中学已用数学 归纳 法 证 明 过 )
对,0x?? 由二 项 展 开 式
23
( 1 ) ( 1 ) ( 2 )
( 1 ) 1,
2 ! 3 !
nn
n n n n n
x n x x x x
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?L
有, ( 1 )
n
h?? 上式右端任何一 项,
2 2 2 2
1,
2,(
a b R
ab
a b c R R
a b a c b c
??
??
??
?
? ? ? ? ?
思考题：
、设, 是任意正数，恒有关系式 a - b 成立，请问
,之间关系如何？
、设,, 表示全体正实数的集合), 有关系式：
成立，它的几何意义是什么？
第一章 实数集与函数
§ 1 实数
教学内容：实数的概念与性质；绝对值与其不等式性质
重点：绝对值与其不等式性质
要求：理解绝对值不等式性，会解绝对值不等式。
第一章 实 数集与函数
§ 1 实 数
数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概
念
一,实 数及其性 质,
回 顾 中学中 关 于 有理 数 和无理数的 定 义,
有理数,
(,0)p q q
?
??
?
?
?
p
能 用 互 质 分 数 为 整 数, 表 示 的 数 ；
q
有 限 十 进 小 数 或 无 限 十 进 循 环 小 数 表 示 的 数
若 规 定,
0 1 2 0 1 2
., ( 1 ) 99 9
nn
a a a a a a a a??L L L L
则 有限十 进 小数都能表示成无限循 环 小数 。
2
则有限十进小数都能表成无限循环小数。
例如,001.2 记为 ?999000.2 ； 0 记为 ?000.0 ； 8? 记为 999.7?
实数大小的比较
定义 1 给定两个 非 负实 数
????
nn
bbbbyaaaax
210210
.,,??
其中
kk
ba,为非负整数,9,0 ??
kk
ba 。若由
1 ） ?,2,1,0,?? kba
kk
则称 x 与 y 相等，记为 yx ?
2 ） 若存在非负整数 l,使得 ),,2,1,0(,lkba
kk
???,而
11 ??
?
ll
ba,
则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 yx ? （或 xy ? ）。
规定任何非负实数大于任何负实数； 对于负实数 yx,，若按定义 1 有
yx ???,则称 xy ?
实 数的有理数近似表示
定义 2 设 ??
n
aaaax
210
.? 为非负实数，称有理数
nn
aaaax ?
210
.?
非 数
） 与
）,
有
实 数的有理数近似表示
设
3
实数大小的比较
定义 1 给定两个 非 负实 数
????
nn
bbbbyaaaax
210210
.,,??
其中
kk
ba,为非负整数,9,0 ??
kk
ba 。若由
1 ） ?,2,1,0,?? kba
kk
则称 x 与 y 相等，记为 yx ?
2 ） 若存在非负整数 l,使得 ),,2,1,0(,lkba
kk
???,而
11 ??
?
ll
ba,
则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 yx ? （或 xy ? ）。
规定任何非负实数大于任何负实数； 对于负实数 yx,，若按定义 1 有
yx ???,则称 xy ?
实 数的有理数近似表示
定义 2 设 ??
n
aaaax
210
.? 为非负实数，称有理数
nn
aaaax ?
210
.?
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实数大小的比较
定义 给定两个 非 负实 数
其中 为非负整数,。若由
） 则称 与 相等，记为
） 若存在非负整数,使得,而,
则称 大于 （或 小于 ），分别记为 （或 ）。
规定任何非负实数大于任何负实数； 对于负实数,若按定义 有
，则称
实 数的有理数近似表示
定义 设 为非负实数，称有理数
为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
nnn xx 10
1??
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数 ?? naaaax 210,??
x 的 n 位不足近似值规定为,nnn aaaax 10 1,210 ??? ? ；
x 的 n 位过剩近似值规定为,nn aaaax ?210,??
比如 2 1, 4 1 4 2? L, 则
1, 4,1, 4 1,1, 4 1 4,1, 4 1 4 2,L 称 为 2 的 不足近似 值 ；
1, 5,1, 4 2,1, 4 1 5,1, 4 1 4 3,L 称 为 2 的 过 剩近似 值 。
命 题 设 0 1 2 0 1 2.,.x a a a y b b b?? LL 为?个 实 数,则
,nnx y n x y? ? ?存 在 非 负 整 数 使 得
为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
nnn
xx
10
1
??
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数 ??
n
aaaax
210
.??
x 的 n 位不足近似值规定为：
nnn
aaaax
10
1
.
210
??? ? ；
x 的 n 位过剩近似值规定为：
nn
aaaax ?
210
.??
比如 2 1,4 1 4 2? L, 则
1,4,1,4 1,1,4 1 4,1,4 1 4 2,L 称 为 2 的 不足近似 值 ；
1,5,1,4 2,1,4 1 5,1,4 1 4 3,L 称 为 2 的 过 剩近似 值 。
命 题 设
0 1 2 0 1 2
.,.x a a a y b b b?? LL 为?个 实 数,则
,
nn
x y n x y? ? ?存 在 非 负 整 数 使 得
4
为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
nnn xx 10
1??
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数 ?? naaaax 210,??
x 的 n 位不足近似值规定为,nnn aaaax 10 1,210 ??? ? ；
x 的 n 位过剩近似值规定为,nn aaaax ?210,??
比如 2 1, 4 1 4 2? L, 则
1, 4,1, 4 1,1, 4 1 4,1, 4 1 4 2,L 称 为 2 的 不足近似 值 ；
1, 5,1, 4 2,1, 4 1 5,1, 4 1 4 3,L 称 为 2 的 过 剩近似 值 。
命 题 设 0 1 2 0 1 2.,.x a a a y b b b?? LL 为?个 实 数,则
,nnx y n x y? ? ?存 在 非 负 整 数 使 得
例 1 设 yx,为实数,yx ?,证明：存在有理数 r 满足
yrx ??
证明 由 ?? yx 存在非负整数 n,使得 nn yx ?,取 2 nn yxr ??
则 r 显然为有理数，且
yyrxx nn ????
实 数的一些主要性 质
1 四 则? 算封 闭 性,
2 三? 性 ( 即有序性 ), 任何两个实数 ba,，必满足下述三个关系之一,
bababa ???,,
3 实 数大小由 传递 性,即,a b b c? ? ?则 有 a c,
4 A c h i m e d e s 性,,,,0,,bnanabba ???????? NR
5 稠密性, 有理数和无理数的稠密性,给 出稠密性的定 义,
6 实 数集的几何表示, 数 轴,
例
,0,.
0,a < b +
a b a b
ab
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数
n
nn
xx
10
1
??
称为 x 的 n 位过剩近似值。
对于负实数 ??
n
aaaax
210
.??
x 的 n 位不足近似值规定为：
n
nn
aaaax
10
1
.
210
??? ? ；
x 的 n 位过剩近似值规定为：
nn
aaaax ?
210
.??
比如 2 1, 4 1 4 2? L, 则
1, 4,1, 4 1,1, 4 1 4,1, 4 1 4 2,L 称 为 2 的 不足近似 值 ；
1, 5,1, 4 2,1, 4 1 5,1, 4 1 4 3,L 称 为 2 的 过 剩近似 值 。
命 题 设
0 1 2 0 1 2
.,.x a a a y b b b?? LL 为?个 实 数,则
,
nn
x y n x y? ? ?存 在 非 负 整 数 使 得
2
的
的
的 ；
的
,则
称 为 的 值 ；
称 为 的 过 值 。
命 题 设 为 实 则
存 在 非 负 整 数 使 得
5
例 1 设 yx,为实数,yx ?,证明：存在有理数 r 满足
yrx ??
证明 由 ?? yx 存在非负整数 n,使得
nn
yx ?,取
2
nn
yx
r
?
?
则 r 显然为有理数，且
yyrxx
nn
????
实 数的一些主要性 质
1 四 则? 算封 闭 性,
2 三? 性 ( 即有序性 ), 任何两个实数 ba,，必满足下述三个关系之一,
bababa ???,,
3 实 数大小由 传递 性,即,a b b c? ? ?则 有 a c,
4 A c h i m e d e s 性,,,,0,,bnanabba ???????? NR
5 稠密性, 有理数和无理数的稠密性,给 出稠密性的定 义,
6 实 数集的几何表示, 数 轴,
例
,0,.
0,a < b +
a b a b
ab
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
运
6
例 1 设 yx,为实数,yx ?,证明：存在有理数 r 满足
yrx ??
证明 由 ?? yx 存在非负整数 n,使得 nn yx ?,取
2
nn yxr ??
则 r 显然为有理数，且
yyrxx nn ????
实 数的一些主要性 质
1 四 则? 算封 闭 性,
2 三? 性 ( 即有序性 ), 任何两个实数 ba,，必满足下述三个关系之一,
bababa ???,,
3 实 数大小由 传递 性,即,a b b c? ? ?则 有 a c,
4 A c h i m e d e s 性,,,,0,,bnanabba ???????? NR
5 稠密性, 有理数和无理数的稠密性,给 出稠密性的定 义,
6 实 数集的几何表示, 数 轴,
例
,0,.
0,a < b +
a b a b
ab
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
二, 绝对值与不等式
绝对值 定 义,
,0
||
,0
aa
a
aa
??
? ?
???
从数 轴 上看 的 绝对值 就是到原点的距 离,
a 0 - a
7
绝对值 的一些主要性 质
| | | | 0 0 | | 0
- < < ; | |,0
4.
5, | | | | | |
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6,,0
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a a a a
a a a
a h h a h a h h a h h
a b a b a b
a b a b
aa
b
bb
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1,当 且 仅 当 时
2, - | | | |
3, | |
8
性 质 4 （ 三角不等式 ） 的 证 明,
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由 性 质 2 - | a | a | a |,- | b | b | b |
两 式 相 加 - ( | a | + | b | ) a + b | a | + | b |
由 性 质 3 上 式 等 价 于 | a + b | | a | + | b |
把 上 式 的 b 换 成 - b 得 | a - b | | a | + | b |
由此 可 推出
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9
三, 几个重要不等式,
（ 1 ）,2
22
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（ 2 ） 对,,,,
21
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n
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,
1
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1
21
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( 算 术 平均 值 )
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( 调 和平均 值 )
有均 值 不等式, ),( )( )(
iii
aMaGaH ?? 等号当且 仅 当
n
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21
时 成立,
（ 3 ） B e r n o u l l i 不等式, ( 在中学已用数学 归纳 法 证 明 过 )
对,0x?? 由二 项 展 开 式
23
( 1 ) ( 1 ) ( 2 )
( 1 ) 1,
2 ! 3 !
nn
n n n n n
x n x x x x
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有, ( 1 )
n
h?? 上式右端任何一 项,
10
三, 几个重要不等式,
（ 1 ）,2
22
abba ??,1 s i n ?x, s i n xx ?
（ 2 ） 对,,,,
21
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( 调 和平均 值 )
有均 值 不等式, ),( )( )(
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aMaGaH ?? 等号当且 仅 当
n
aaa ??? ?
21
时 成立,
（ 3 ） B e r n o u l l i 不等式, ( 在中学已用数学 归纳 法 证 明 过 )
对,0x?? 由二 项 展 开 式
23
( 1 ) ( 1 ) ( 2 )
( 1 ) 1,
2 ! 3 !
nn
n n n n n
x n x x x x
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有, ( 1 )
n
h?? 上式右端任何一 项,
2 2 2 2
1,
2,(
a b R
ab
a b c R R
a b a c b c
??
??
??
?
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思考题：
、设, 是任意正数，恒有关系式 a - b 成立，请问
,之间关系如何？
、设,, 表示全体正实数的集合), 有关系式：
成立，它的几何意义是什么？
