§ 3 高斯公式与斯托克斯公式
教学内容,1.利用高斯公式计算封闭曲面的第二型
曲面积分；
2.斯托克斯公式；
3.空间曲线第二型曲线积分与路径无关
的条件。
教学重点,利用高斯公式计算封闭曲面的第二型
曲面积分
教学难点,斯托克斯公式
1,公式：设空间区域 ? 由分片光滑的双侧封闭曲面
Σ围成,函数 ),,( zyxP, ),,( zyxQ,
),,( zyxR 在 ? 上具有
一阶连续偏导数,则有公式
?????
??
???
?
?
?
?
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?
?
?
R dx dyQdz dxP dydzdv
z
R
y
Q
x
P
)(
一、高 斯 公 式
这里 ? 是 ? 的整个边界曲面的 外侧
高斯公式
x
y
z
o
1?
2?
3?
?
xyD
2.几点说明,
① Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面
上的曲面积分之间的关系,
② Gauss公式中第二型曲
面积分一定为封闭面，
若不是封闭面，要添加
特殊的曲面或平面才能
用 Gauss公式。
③ 与格林公式的异同
??
??????
?
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???
?
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z dx dyy dz dxx dy dz
dx dy dzdv
z
R
y
Q
x
P
3)(
④ 利用 Gauss公式可以得出用曲面积分求体积的公式
zRyQxP ???,,
??
?
????? z d x d yy d z d xx d y d zV 31体积
例 1 计算曲面积分
x d y d zzyd x d yyx )()( ?????
?
其中 Σ 为柱面 1
22
?? yx 及平
面 3,0 ?? zz 所围成的空间闭
区域 ? 的整个边界曲面的外侧,
x
o
z
y11
3
???
?
? d xd yd zzy )(由高斯公式：原式＝
? ?? ?? ??20 3010 )s i n( r d zzrdrd＝
4
9?＝
例 2,P289习题 1(1)、（ 2）
练习,P289习题 1（ 2）,P295习题 1（ 1）、（ 2）
二、斯托克斯 (stokes)公式
1.双测曲面 ∑的侧与边界曲线 Γ方向的规定
n?
?
? 右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
? ?
2.斯托克斯 (stokes)公式
定理 设 ? 为分段光滑的空间有向闭曲线,? 是以
? 为边界的分片光滑的有向曲面,? 的正向与 ? 的
侧符合右手规则,函数 ),,( zyxP,),,( zyxQ,
),,( zyxR 在包含曲面 ? 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数,则有公式
dxdy
y
P
x
Q
dz dx
x
R
z
P
dy dz
z
Q
y
R
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??? R dzQdyP dx
斯托克斯公式
其中 ∑的侧与 Г的方向按右手法则确定
??? ?
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???
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?
?
?
R dzQdyP dx
RQP
zyx
dxdydz dxdydz
② 便于记忆形式
3.几点说明,
① Stokes公式的实质,
表达了有向曲面上的 曲面积分 与其边界曲线
上的 曲线积分 之间的关系,
斯托克斯公式 格林公式 特殊情形
当 Σ 是 x o y 面的平面闭区域时
例 3 计算曲线积分
dzxydyzxdxzy )()()2( ??????
?,
其中 ? 是平面 1??? zyx 被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则,
0
xyD
x
y
z
n
1
1
1
③
三、空间曲线积分与路径无关的条件
设 ?为空间区域,如果 ?内任一闭曲线均
可以不经过 ?以外的点而连续地收缩为属于 ?
的一点,则称 ?为空间 单连通 区域,否则称为
复连通 区域,
复连通区域 单连通区域
1.空间单连通区域
G G
以下四个条件等价：
偏导数，则上连续，且有一阶连续在
函数为空间单连通区域，若设定理
?
??
RQP
R
,,
5.22
2.空间曲线积分与路径无关的等价命题
? ???
?
L
R d zQ d yP d x
Li
0
上有曲线内任一按段光滑的封闭）对于（
与路径无关。
，曲线积分内任一按段光滑的曲线对于
? ??
?
L
R d zQ d yP d x
Lii )(
R d zQd yP d xdu
uR d zQd yP d xiii
???
???
即
的全微分，内某一函数是)(
.
)()()(
3
u
dzyxdyxzdxzy
L
函数的原函数与路径无关，并求被积
验证曲线积分例
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z
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Q
x
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曲面积分；
2.斯托克斯公式；
3.空间曲线第二型曲线积分与路径无关
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教学重点,利用高斯公式计算封闭曲面的第二型
曲面积分
教学难点,斯托克斯公式
1,公式：设空间区域 ? 由分片光滑的双侧封闭曲面
Σ围成,函数 ),,( zyxP, ),,( zyxQ,
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① Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面
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练习,P289习题 1（ 2）,P295习题 1（ 1）、（ 2）
二、斯托克斯 (stokes)公式
1.双测曲面 ∑的侧与边界曲线 Γ方向的规定
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? 右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
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2.斯托克斯 (stokes)公式
定理 设 ? 为分段光滑的空间有向闭曲线,? 是以
? 为边界的分片光滑的有向曲面,? 的正向与 ? 的
侧符合右手规则,函数 ),,( zyxP,),,( zyxQ,
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② 便于记忆形式
3.几点说明,
① Stokes公式的实质,
表达了有向曲面上的 曲面积分 与其边界曲线
上的 曲线积分 之间的关系,
斯托克斯公式 格林公式 特殊情形
当 Σ 是 x o y 面的平面闭区域时
例 3 计算曲线积分
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其中 ? 是平面 1??? zyx 被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
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三、空间曲线积分与路径无关的条件
设 ?为空间区域,如果 ?内任一闭曲线均
可以不经过 ?以外的点而连续地收缩为属于 ?
的一点,则称 ?为空间 单连通 区域,否则称为
复连通 区域,
复连通区域 单连通区域
1.空间单连通区域
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以下四个条件等价：
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