§2 连续函数的性质 内容：1 连续函数的局部性质 ????? 2 区间上的连续函数的基本性质 ????? 3 反函数的连续性 ????? 4 一致连续性 重点：连续函数的局部性质性质；区间上的连续函数的基本性质 难点：连续函数的保号性；一致连续性. ? 一 连续函数的局部性质 根据函数的在点连续性，即可推断出函数在点的某邻域内的性态。 定理4.2（局部连续性）若函数在点连续，则在点的某邻域内有界。 定理4.3 （局部保号性） 若函数 在 ?点连续，且 ，则对任意 ? 存在 ?某邻域 ?时， 定理4.4（四则运算性质）若函数则在区间I上有定义，且都在?连续，则 （）在 ?点连续。 例 因连续，可推出多项式函数 和有理函数为多项式）在定义域的每一点连续。 同样,由上的连续性，可推出与在定义域的每一点连续。 定理4.5（复合函数的连续性）若函数在点连续，在点连续，，则复合函数?在 ?点连续。 证明 由于?在 ?连续，对任给的，存在 ，使 ?时有??? ?????????? ????? （1） 又由及在连续，故对上述，存在，使得当时，有. 联系（1）得: 对任给的，存在 ，当 ?时有. 这就证明了 在点 ?连续. 注：根据连续性的定义，上述定理的结论可表示为??????? (2) 例1 求 . 解 ?可看作函数 ?与 ?的复合.由(2)式,可得  注：若复合函数的内函数当时极限为，而或在无定义（为的可去间断点），又外函数在处连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有???????? ????????? (3) 读者还可证明(3)式对于 ?或 ?等类型的极限也是成立的。 例2 求极限： （1）；????????? （2）. 解 (1)  (2)  ? ?二 闭区间上连续函数的基本性质 前面我们研究了函数的局部性质，下面通过局部性质研究函数在闭区间上的整体性质。 定义1 设f为定义在数集D上的函数，若存在，使得对一切有?? ， 则称f在D上有最大（最小值）值，并称为f在D上的最大（最小值）值. 例如 在上有最大值1,最小值0.但一般而言f在定义域D上不一定有最大值或最小值（即 使f在D上有界）。如在上既无最大值又无最小值，又如?????????? ? ?? (4)在闭区间上也无最大、最小值。 定理4.6 (最大最小值定理) 若函数 ?在闭区间 上连续，则 在闭区间 ?上有最 大值与最小值。 该定理及以后的定理4.7 和定理4.9将在第七章§2给出证明. 推论：（有界性）若函数在闭区间上连续，则在闭区间?上有界。 定理4.7(介值性定理) 若函数在闭区间上连续，且，若为介于之间的任何实数（ 或 ）,则在开区间内至少存在一点，使得?:   　  ? ??? 推论（根的存在定理）若函数在闭区间上连续，且异号，则至少存在一点?使得 .即 ?在内至少有一个实根. ?  ?   ? ?? ?应用介值性定理，还容易推得连续函数的下述性质：若在区间[a,b]上连续且不是常量函数,则值 域 ?也是一个区间；特别若为区间 [a,b], 在 [a,b]上的最大值为,最小值为，则 ；又若 ?为 [a,b]上的增（减）连续函数且不为常数，则 例3 证明：若为正整数，则存在唯一正数，使得. 证明 先证存在性。由于当 时有 ，故存在正数 ，使得 .因在?上连续，并有，故有介值性定理，至少存在一点使得. 再证唯一性。设正数 ?使得  由于第二个括号内的数为正所以只能 ，即 . 例4 ?设 在 [a,b] 连续，满足 ???????????????????? ??? （5） 证明：存在，使得 ?????????????????????????? ? （6） 证 条件（5）意味着：对任何有，特别有?以及 ?. 若或，则取，从而（6）式成立。现设与。。 令 ，则 ，. 由根的存在性定理，存在?，使得 ?即 . 三 反函数的连续性 定理4.8（反函数的连续性）若函数在闭区间严格递增（递减）且连续，则其反函数 在相应的定义域 （）上递增（递减）且连续。 证明 （只证明f(x)严格递增情况）由闭区间上连续函数的介值性，反函数存在，而且其定义域为 ?。 设 ，且 ?  ? 则 ，对任给的可在的两侧各取异于的两点（），使它们与的距离小于（参见上图）. 设，由函数的严格递增性， 必分别落在的两侧，即当 ?时，令 ，则当 时，对应的 的值必落在?之间，从而 . 应用单侧极限的定义，同样可证在区间端点也是连续的。 例5 由于 在区间 ?上严格单调且连续，故反函数 ?在区间[-1，1]上连续。同理，由反函数连续性定理可得其他反三角函数?在其定义域内是连续的。 例6由于?（为正整数）在严格上单调且连续，所以它的反函数在上连续。又若把（为正整数）看作由 ?与 ?的复合，综上可知，（q为非零整数）其定义域内是连续的。 例7 证明：有理幂函数 在其定义区间上连续. ?证明：设有理数，这里为整数。因为与均在其定义区间上连续，所以 复合函数 也是其定义区间上的连续函数。 四 一致连续性 前面介绍的函数在某区间内的连续性，是指它在区间的每一点都连续。这只反映函数在区间内每一点附近的局部性质，就是说连续定义中的 ?不仅与? 有关，而且与有关。下面介绍的一致连续性，则是函数在区间上的整体性质，其定义中的只与有关，而与无关。 定义2（一致连续性）设函数 ?在区间I上有定义，若 ?只要 ，?，都有 ?，则称 ?在区间I上一致连续。 这里要特别注意逐点连续与一致连续的区别。直观的说 在区间I一致连续意味着：不论两点?在I中处于什么位置只要它们的距离小于，就可使 . 显然I必然在I上每一点连续，反之，结论不一定成立（参见例9）。 按照一致连续的定义，在区间I不一致连续意味着：对于某个对任何的（无论多么小），总存在两点 ?尽管 ，但却有  例8 证明 ?在 ?内一致连续。 证明:??  ?????  对，取 ，不管是 ?中的怎样两点，只要，就有： ?，所以 ?在 ?内一致连续。 例9 证明 ?在 ?内一致连续，但在 ?内不一致连续。 证明? ?? 在 ?内一致连续：  ?  对，取 ，不管?是 ?中的怎样两点，只要，就有： ，所以 ?在 内一致连续。 但在内不一致连续。 取 , 对任意的 ，都存在两点 ， 尽管 ， 但 ?. 所以，?在 ?内不一致连续。 在区间I上的一致连续性是又一个整体性质，可推出在区间I上每点都连续的这一局部性质（只要在一致连续的定义中把看作定点和动点）；但区间上I上每点连续并不能保证在区间I上一致连续，两者在概念上有本质的差别。因为函数在区间I上每点连续是指：对于 每一点及?，当 ?（）时，有?? 注意这里的不仅与有关，还与的位置有关，如果能做到只与有关即能找不到适合I上所有 点的公共，则在I上每点连续，且一致连续；否则在I上每点连续，但不一致连续。 一般说来对I上无穷多个点，存在无穷多个，这无穷多个的下确界可能为零，也可能大于零。如果 这无穷多个的下确界为零，则不存在适合I上所有点的公共，这种情况在I上连续，但不一致连续；如果这无穷多个的下确界大于零，则必存在对I上每一点都适用的公共，比如 我们可取取 ，则对I上任意两点?，只要 ?时，便有 ?.这种情况，在I上不仅逐点连续，而且是一致连续。 定理4.9 （一致连续性）若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。 ?例10 设区间的右端点为，区间的左端点也为（可为有限或无限区间）。 试证明：若分别在上一致连续，则在区间上也一致连续。 证明：任给 ，由 ?在 ?上的一致连续性，分别存在正数 ?和 使得对任何 ，只要 ，就有；??????? （7） 又对任何 ，只要 ?也有上面（7）式成立。 点作为右端点，在点为左连续，作为左端点，在点为右连续，所以在点为连续。故对上述，存在 ，当 ?时有?.????????? （8） 令 ，对任何的 ，，分别考虑下列两种情形： ?? i）若或则（7）式成立； ii）分别属于和，不妨设和，则 ? 故有（8）式得 . 同理得 . 从而也有（7）式成立。 这便证明了在上一致连续。