第二十一章 重积分
§ 1 二重积分的概念
教学内容,1.二重积分的定义
2.二重积分存在的条件
3.二重积分的性质
平面图形的面积
1.平面图形有界
2.平面图形的面积
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
2 2 2
2
2
2 2 2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2 2
)(1 Ts p类小矩形面积总和记为所有
)(21 TS p类小矩形面积总和记为类及所有
pp ITs ?)}(s u p {内面积 pp ITS ?)}(i n f {外面积
pp IIP ＝外面积内面积可求面积 ?
RPR ?使有矩形,
平顶柱体体积 =底面积 × 高
特点,平顶,
柱体体积 =？
特点,曲顶,
),( yxfz ?
D
１．曲顶柱体的体积
一、问题的提出
。为底的柱体的体积
为顶，曲面的非负连续函数，求以
上界闭区域为定义在可求面积的有设
VD
yxfz
Dyxf
),(
),(
?
求曲顶柱体的体积思想方法
—— 以平代曲，以不变代变
求曲顶柱体的体积采用, 分割、代替,
求和、取极限,的方法，具体步骤如下,
(1)分割
把曲顶柱体的底任意分为 n个小区域,
i??其面积为
把曲顶柱体分为 n个小曲顶柱体,
iV?其体积为
任选一个小曲顶柱体
x
z
yo
D
),( yxfz ?
i??
? ),( ii ??
(2)代替
iii ??? ?? ),(
代替曲顶柱体
为底的平顶柱体
为高，以
i
iif
?
?? ),(
iiii fV ??? ??? ),(
(3)求和
用 n个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积
.),(
1
ii
n
i
ifV ??? ?? ?
?
曲顶柱体的体积,),(lim
10
ii
n
i
ifV ???? ?? ?
??
(4)求极限
}{ 的直径＝其中 i
i
n a x ?? ?
２．求平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定
),( yx? 在 D 上连续，平面薄片的质量为多少？
思想方法：以均匀代非均匀曲，以不变代变
DMyx ???? ??? 时，（当 ),
i??
? ),( ii ??
将薄片分割成若干小块,
取典型小块，将其近似
看作均匀薄片,
所有小块质量之和
近似等于薄片总质量
.),(lim
10
ii
n
i
iM ????? ?? ?
??
x
y
o
分割、代替、求和、取极限
定义 设 ),( yxf 是有界闭区域 D 上的有界函数，
将 闭 区 域 D 任意分成 n 个 小 闭 区 域
1
??,
?,
2
??,
n
??,其中
i
?? 表示第 i 个小闭区域，
也表示它 的面积，在每个
i
?? 上任取一点 ),(
ii
??,
作乘积
),(
ii
f ??
i
??
,),,2,1( ni ??,
并作和
ii
n
i
i
f ??? ??
?
),(
1
,二、二重积分的概念
1,
积
分
区
域
如果当各小闭区域的直径中的最大值 ? 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
),( yxf 在闭区域 D 上的 二重积分,
记为 ??
D
dyxf ?),(,
即 ??
D
dyxf ?),(
ii
n
i
i
f ???
?
?? ?
?
?
),(l i m
1
0
.
积
分
和
被
积
函
数
积
分
变
量
被
积
表
达
式
面
积
元
素
2.对二重积分定义的说明,
(2) 二重积分定义的另一说法,
????????
??
??????
?????
?
?
JfT
TJ
n
i
iiiiii
1
),(,),(,
,,0,0
有对
只要对为一个确定的数，若设
(1)在上述极限中，要求对任意的分割及任意的介点
极限均存在且相等；
(3) 当已知二重积分存在，要求其值时，可以采用
特殊的分割，以方便计算；
3.二重积分的可积条件
在直角坐标系下用平
行于坐标轴的直线网来划
分区域 D,
x
y
o
D 则面积元素为 dxdyd ??
故二重积分可写为 ????
??
DD
dx dyyxfdyxf ),(),(
当 ),( yxf 在闭区域上 连续 时，定义中和式的
极限必存在，即 二重积分必存在,
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的
负值,
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,
4.二重积分的几何意义
????
D
dyxfVyxf ?),(0),( 时，即：当
?????
D
D cdcVcyxf ??时，当 ),(
???????
D
DD dVyxf ???11),( 时，当
即：当被积函数等于 1时，二重积分就是底 D的面
积,
性质１ 当 为常数时, k
.),(),( ???? ?
DD
dyxfkdyxkf ??
性质２ ?? ?
D
dyxgyxf ?)],(),([
.),(),( ???? ??
DD
dyxgdyxf ??
（二重积分与定积分有类似的性质）
三、二重积分的性质
运
算
上
的
性
质
性质３ 对 区域 具有 可加性
.),(),(),(
21
?????? ??
DDD
dyxfdyxfdyxf ???
性质４ ?若 为 D的面积,.1?? ?????
D D
dd ???
性质５ 若在 D上 ),,(),( yxgyxf ?
.),(),( ???? ?
DD
dyxgdyxf ??
特殊地,),(),( ???? ?
DD
dyxfdyxf ??
)( 21 DDD ??
则有
设 M, m 分别是 ),( yxf 在闭区域 D 上的
最大值和最小值,? 为 D 的面积，则
性质６
设函数 ),( yxf 在闭区域 D 上连续,? 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点 ),( ?? 使得
性质７
（二重积分中值定理）
?? ?????
D
Mdyxfm ),(
???????? ),(),( fdyxf
D
（二重积分估值不等式）
§ 1 二重积分的概念
教学内容,1.二重积分的定义
2.二重积分存在的条件
3.二重积分的性质
平面图形的面积
1.平面图形有界
2.平面图形的面积
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
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2
2
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2 2
2
2
2
2 2
2
2
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)(1 Ts p类小矩形面积总和记为所有
)(21 TS p类小矩形面积总和记为类及所有
pp ITs ?)}(s u p {内面积 pp ITS ?)}(i n f {外面积
pp IIP ＝外面积内面积可求面积 ?
RPR ?使有矩形,
平顶柱体体积 =底面积 × 高
特点,平顶,
柱体体积 =？
特点,曲顶,
),( yxfz ?
D
１．曲顶柱体的体积
一、问题的提出
。为底的柱体的体积
为顶，曲面的非负连续函数，求以
上界闭区域为定义在可求面积的有设
VD
yxfz
Dyxf
),(
),(
?
求曲顶柱体的体积思想方法
—— 以平代曲，以不变代变
求曲顶柱体的体积采用, 分割、代替,
求和、取极限,的方法，具体步骤如下,
(1)分割
把曲顶柱体的底任意分为 n个小区域,
i??其面积为
把曲顶柱体分为 n个小曲顶柱体,
iV?其体积为
任选一个小曲顶柱体
x
z
yo
D
),( yxfz ?
i??
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(2)代替
iii ??? ?? ),(
代替曲顶柱体
为底的平顶柱体
为高，以
i
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(3)求和
用 n个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积
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曲顶柱体的体积,),(lim
10
ii
n
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(4)求极限
}{ 的直径＝其中 i
i
n a x ?? ?
２．求平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定
),( yx? 在 D 上连续，平面薄片的质量为多少？
思想方法：以均匀代非均匀曲，以不变代变
DMyx ???? ??? 时，（当 ),
i??
? ),( ii ??
将薄片分割成若干小块,
取典型小块，将其近似
看作均匀薄片,
所有小块质量之和
近似等于薄片总质量
.),(lim
10
ii
n
i
iM ????? ?? ?
??
x
y
o
分割、代替、求和、取极限
定义 设 ),( yxf 是有界闭区域 D 上的有界函数，
将 闭 区 域 D 任意分成 n 个 小 闭 区 域
1
??,
?,
2
??,
n
??,其中
i
?? 表示第 i 个小闭区域，
也表示它 的面积，在每个
i
?? 上任取一点 ),(
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作乘积
),(
ii
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i
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,),,2,1( ni ??,
并作和
ii
n
i
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),(
1
,二、二重积分的概念
1,
积
分
区
域
如果当各小闭区域的直径中的最大值 ? 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
),( yxf 在闭区域 D 上的 二重积分,
记为 ??
D
dyxf ?),(,
即 ??
D
dyxf ?),(
ii
n
i
i
f ???
?
?? ?
?
?
),(l i m
1
0
.
积
分
和
被
积
函
数
积
分
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被
积
表
达
式
面
积
元
素
2.对二重积分定义的说明,
(2) 二重积分定义的另一说法,
????????
??
??????
?????
?
?
JfT
TJ
n
i
iiiiii
1
),(,),(,
,,0,0
有对
只要对为一个确定的数，若设
(1)在上述极限中，要求对任意的分割及任意的介点
极限均存在且相等；
(3) 当已知二重积分存在，要求其值时，可以采用
特殊的分割，以方便计算；
3.二重积分的可积条件
在直角坐标系下用平
行于坐标轴的直线网来划
分区域 D,
x
y
o
D 则面积元素为 dxdyd ??
故二重积分可写为 ????
??
DD
dx dyyxfdyxf ),(),(
当 ),( yxf 在闭区域上 连续 时，定义中和式的
极限必存在，即 二重积分必存在,
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的
负值,
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,
4.二重积分的几何意义
????
D
dyxfVyxf ?),(0),( 时，即：当
?????
D
D cdcVcyxf ??时，当 ),(
???????
D
DD dVyxf ???11),( 时，当
即：当被积函数等于 1时，二重积分就是底 D的面
积,
性质１ 当 为常数时, k
.),(),( ???? ?
DD
dyxfkdyxkf ??
性质２ ?? ?
D
dyxgyxf ?)],(),([
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DD
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（二重积分与定积分有类似的性质）
三、二重积分的性质
运
算
上
的
性
质
性质３ 对 区域 具有 可加性
.),(),(),(
21
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DDD
dyxfdyxfdyxf ???
性质４ ?若 为 D的面积,.1?? ?????
D D
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性质５ 若在 D上 ),,(),( yxgyxf ?
.),(),( ???? ?
DD
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特殊地,),(),( ???? ?
DD
dyxfdyxf ??
)( 21 DDD ??
则有
设 M, m 分别是 ),( yxf 在闭区域 D 上的
最大值和最小值,? 为 D 的面积，则
性质６
设函数 ),( yxf 在闭区域 D 上连续,? 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点 ),( ?? 使得
性质７
（二重积分中值定理）
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D
Mdyxfm ),(
???????? ),(),( fdyxf
D
（二重积分估值不等式）
