第十一章 反 常 积 分
§ 1 反常积分概念
教学内容,
1,反常积分概念的引入
2,无穷积分的定义
3,瑕积分的定义
教学重点,无穷积分敛散性的概念、常用的收敛与发散的无穷积分
教学难点：反常积分概念的引入
一, 问题的提出
定积分有两个基本的限制：积分区间是有限区间；函数为有界函数,
但实际问题很多都涉及无穷区间上的, 积分, 和无界函数的, 积分, 。
例 1：（第二宇宙速度问题） 在地球表面垂直发射火箭。要使火箭克
服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？
万有引力定理）
处所受的引力为则火箭在距地心
。地面上的重力加速度为，初速度为，火箭质量为解：设地球半径为
(
)(
,
2
0
x
m g R
F
Rx
gvmR
?
?
从而火箭从地面上升到离地心 r(>R)处需作的功为
? ??rR rRm g Rdxxm g R )11(22
也就把上式写为
，右边的极限，此时需作的功为上式意味着火箭要无限远离地球,m g Rr ???
最后由机械能守恒定律得
m g RrRm g Rdxxm g RR r ???? ?? ??? )11(lim 22
m gRmv ?2021
把各数值代入可求得结果。
例 2,圆柱形桶的内壁高为 h,内半径为 R,桶底有一半径为 r 的小孔。
试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？
解：从物理学知道，当桶内水位高度为 h-x 时，水从孔中流出的速度为
为重力加速度）其中 gxhgv ()(2 ??
设在很小一段时间 dt 内，桶中液面降低的微小量为 dx,它们满足
],0[,
)(22
2
22
hxdx
xhgr
R
dt
dtrvdxR
?
?
?
?
从而有
??
所以流完一桶水所需时间可写为“积分” ?
??
h dx
xhgr
Rt
0 2
2
)(2
但是因为这里的被积函数是 [ 0,h )上的无界函数，故
2
2
2
0 2
2 2
)(2lim)(2lim ?????????????? ??
?? ? r
R
g
huhh
r
R
gdxxhgr
Rt
hu
u
hu
从上面的例题我们知道，通过定积分和极限就可以定义无穷区间以及
无界函数的, 积分, 。
二, 无穷区间上的反常积分
1.定义
无穷区间有三种，分别给出其定义,
上),[)1( ??a
定义 1,
上的在为函数则称
若存在极限
上可积，在，上有定义，对任何在设
),[)(
)1()(lim
],[)(),[)(
??
?
???
????
axfJ
Jdxxf
uaxfauaxf
u
au
无穷限反常积分 （简称 无穷积分 ）,记为
? ??? a dxxfJ )(
? ??a dxxf )(并称 收敛。 如果极限（ 1）不存在,? ??a dxxf )(称 发散。
注意,
限值）；收敛时它是一个数（极分从本质上说，当无穷积 ? ??a dxxf )()1(
时它只是一个记号。发散当无穷积分 ? ??a dxxf )(
。（如右下图）无限延伸的区域的面积
轴之间那一块向右以及，直线则其值就是介于曲线
上为非负连续函数，在收敛的几何意义是：若
xaxxfy
axfdxxf
a
??
???
??
)(
),[)()()2(
同理可给出
上],()2( b?? ??
????? ?
b
uu
b dxxfdxxf )(l i m)(
上),()3( ????
),(),(],[)( ??????????? auvxf 上可积，则对在任何有限区间若
??? ???????? ?? aa dxxfdxxfdxxf )()()( ?? ?????? ?? uauauu dxxfdxxf )(lim)(lim
当且仅当上式右边两个无穷积分都收敛时，左边的无穷积分才收敛。
注意,
? ???? dxxf )( 的收敛性与收敛时的值，都与实数 a的选取无关。
)(xfy ?
O x
y
a
2,利用定义讨论无穷积分的敛散性以及求其值
方法,先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，无穷积分收敛,
极限值就是无穷积分的值；若极限不存在，无穷积分发散。
例 3,? ?＋
的敛散性。讨论无穷积分 1 1 dxx p
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
u
u
up
p
px
px
pdx
x
u
1
1
1
1
1ln
1
1
1
1
1解：
??
?
?
?
?
??
??
?
1ln
1)1(
1
1 1
pu
pu
p
p
???
??
?
???
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???
?
???
uppu
u
p
u
lnlim110lim 1?
? ?
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??? ?
?
?
?
?
???
?
????
1 1
1
1
1
1
1lim1
p
p
pdx
x
dx
x
u
pup
结论,
? ?＋1 1 dxx p；值为
时收敛，当
1
1
1)1(
?
?
p
p
时发散。当 1)2( ?p
要求熟记
注意,
时发散。时收敛；而当当
此结论可以推广为：
＋
111
0
??
??
?
?
ppdx
x
a
a p
下面再看如何利用此结论解题
例 4,
? ?＋ 的敛散性。讨论无穷积分 2 )( ln 1 dxxx p
解题思路：无穷积分是通过定积分及极限来定义，可以考虑用定积分的有关
方法如换元积分法或分部积分法来处理
duudxxxxu pp? ?? ???? ＋，则解：设 2 2ln 1)( ln 1ln
时发散。时收敛；而当穷积分当由上例的结论得：该无 11 ?? pp
3,利用公式判别无穷积分的敛散性及求无穷积分的值
在定积分里，我们有牛顿－莱布尼兹公式,
? ???ba ba xfxFaFbFxFdxxf 的一个原函数）是其中 )()(()()()()(
既然 无穷积分是通过定积分及极限来定义，所以也可以考虑用类似的公式
来判别无穷积分的敛散性及计算无穷积分。
公式,
? ?? ????? ???a xa aFxFxFdxxf
xfxF
)()(l i m)()(
)()( 的一个原函数，则是设
其值；收敛，右边求出的就是存在时，其中当 ? ????? ax dxxfxF )()(lim
发散。不存在时，当 ? ????? ax dxxfxF )()(l i m
注意,上面的公式可以推广到另外两种无穷积分的情形。
例 5,? ?
?? ?
＋ 值。的收敛性，若收敛求其讨论无穷积分 dx
x 21
1
?
??
??
?
?
?
?
?
???
???
??
??
?? ??????
??
22
a r c t a nl ima r c t a nl ima r c t a n
1
1
2
xxxdx
x xx
a解：
? ??? ?＋ 。收敛，其值为故无穷积分 ?dxx 21 1
三, 无界函数的反常积分
1.瑕点的定义
的为函数的近旁是无界的，则称在点若函数 )()( 00 xfxxxf 瑕点。
2.无界函数反常积分的定义
定义 2,
为则称此极限
极限上有界且可积。若存在但在任何闭区间无界）
的任一右邻域在点的瑕点是上有定义，点在设
J
Jdxxf
babu
axfxfabaxf
b
uau ?
?
?
??
)2()(lim
],(],[,
)(()(],()(
无界函数 上在 ],()( baxf 的 反常积分 （简称 瑕积分 ），记为
?? ba dxxfJ )(
? ba dxxf )(并称 收敛。 ? ba dxxf )(2 ）不存在，称如果极限（ 发散。
注意,
。发散时它只是一个 记号瑕积分（是一个极限值）；当
收敛时它是一个数质上说，当瑕积分与无穷积分类似，从本
?
?
b
a
b
a
dxxf
dxxf
)(
)(
同理可以给出另外几种情形的定义,
?? ?? uabuba dxxfdxxf
bxfxfb
)(lim)(
)(()()1(
_
的任一左邻域无界）在点的瑕点是若点
??
? ??
?? ??
??
??
?
b
vcv
u
acu
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxf
dxxfdxxfdxxf
cxfxfbac
)(lim)(lim
)()()(
)(()(),()2( 的任一邻域无界）在点的瑕点是若点
当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才收敛。
??
? ??
?? ??
??
??
??
v
cbv
c
uau
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxf
dxxfdxxfdxxf
bacxfba
)(l i m)(l i m
)()()(
),()()3( 的瑕点，则都是、若点
当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才收敛。
注意,的选取无关。，都与实数的收敛性与收敛时的值 cdxxfb
a? )(
2.讨论无穷积分的敛散性以及求其值的方法
(1) 利用定义
方法,先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，瑕积分收敛,
极限值就是瑕积分的值；若极限不存在，瑕积分发散。
例 6,?
?10 )0(1 的敛散性。讨论瑕积分 qdxx q
?
?
?
?
?
?
?
?
????
???
?
1
1
11
1ln
1
1
1
1
)1,0(
0]10)0(
1
)(
u
u
u
q
q
q
qx
qx
qdx
x
u
xq
x
xf 为其瑕点连续，，在（解：被积函数
??
?
?
?
??
??
??
?
1ln
1)1(
1
1 1
qu
qu
q
q
???
??
?
???
???
?? ?
?
?
uq qu
u
q
u
lnl i m1 100l i m
0
1
0
?
结论,
?10 1 dxxq；值为
时收敛，当
q
q
?
??
1
1
10)1(
时发散。当 1)2( ?q
要求熟记
? ?
??
??? ?
?
?
?
?
???
?
????
1 1
1
1
1
1
1lim1
p
p
pdx
x
dx
x
u
pup
注意,（ 1）此结论以后是经常用到的，要熟记。
（ 2）此结论可以推广为以下几种情形,
时发散。时收敛；而当当，瑕积分 11010)( 0 ????? ? qqdxxbA b q
时发散。时收敛；而当当瑕积分 110)( 1)( ????? qqdxaxB ba q
时发散。时收敛；而当当瑕积分 110)( 1)( ????? qqdxxbC ba q
? ? ?
?
? ??
?
??
＋
＋
，定义对反常积分
0
1
0 1
0
111
1
)3(
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
ppp
p
由例 3和例 6的结论知，右边两个反常积分不能同时收敛，故可知
结论,均发散。对任意实数反常积分 ＋ pdx
x p?
?
0
1
(2) 利用公式
公式,
? ?????ba axba xFbFxFdxxf
xfaxfxF
)(lim)()()(
)()()( 的瑕点，则是的一个原函数，点是设
其值；收敛，右边求出的就是存在时，其中当 ??? baax dxxfxF )()(lim
发散。不存在时，当 ??? baax dxxfxF )()(lim
注意,上面的公式可以推广到另外三种瑕积分的情形。
以下通过例子来说明
例 7,?
?
1
0 21
1 的值。求瑕积分 dx
x
2
a r c s in
1
1)1,0[
1
1
)(
1
0
1
0
2
2
?
??
?
?
?
?
? x
x
dx
x
x
xf 为其瑕点连续，在解：被积函数
§ 1 反常积分概念
教学内容,
1,反常积分概念的引入
2,无穷积分的定义
3,瑕积分的定义
教学重点,无穷积分敛散性的概念、常用的收敛与发散的无穷积分
教学难点：反常积分概念的引入
一, 问题的提出
定积分有两个基本的限制：积分区间是有限区间；函数为有界函数,
但实际问题很多都涉及无穷区间上的, 积分, 和无界函数的, 积分, 。
例 1：（第二宇宙速度问题） 在地球表面垂直发射火箭。要使火箭克
服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？
万有引力定理）
处所受的引力为则火箭在距地心
。地面上的重力加速度为，初速度为，火箭质量为解：设地球半径为
(
)(
,
2
0
x
m g R
F
Rx
gvmR
?
?
从而火箭从地面上升到离地心 r(>R)处需作的功为
? ??rR rRm g Rdxxm g R )11(22
也就把上式写为
，右边的极限，此时需作的功为上式意味着火箭要无限远离地球,m g Rr ???
最后由机械能守恒定律得
m g RrRm g Rdxxm g RR r ???? ?? ??? )11(lim 22
m gRmv ?2021
把各数值代入可求得结果。
例 2,圆柱形桶的内壁高为 h,内半径为 R,桶底有一半径为 r 的小孔。
试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？
解：从物理学知道，当桶内水位高度为 h-x 时，水从孔中流出的速度为
为重力加速度）其中 gxhgv ()(2 ??
设在很小一段时间 dt 内，桶中液面降低的微小量为 dx,它们满足
],0[,
)(22
2
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xhgr
R
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从而有
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所以流完一桶水所需时间可写为“积分” ?
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0 2
2
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但是因为这里的被积函数是 [ 0,h )上的无界函数，故
2
2
2
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2 2
)(2lim)(2lim ?????????????? ??
?? ? r
R
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r
R
gdxxhgr
Rt
hu
u
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从上面的例题我们知道，通过定积分和极限就可以定义无穷区间以及
无界函数的, 积分, 。
二, 无穷区间上的反常积分
1.定义
无穷区间有三种，分别给出其定义,
上),[)1( ??a
定义 1,
上的在为函数则称
若存在极限
上可积，在，上有定义，对任何在设
),[)(
)1()(lim
],[)(),[)(
??
?
???
????
axfJ
Jdxxf
uaxfauaxf
u
au
无穷限反常积分 （简称 无穷积分 ）,记为
? ??? a dxxfJ )(
? ??a dxxf )(并称 收敛。 如果极限（ 1）不存在,? ??a dxxf )(称 发散。
注意,
限值）；收敛时它是一个数（极分从本质上说，当无穷积 ? ??a dxxf )()1(
时它只是一个记号。发散当无穷积分 ? ??a dxxf )(
。（如右下图）无限延伸的区域的面积
轴之间那一块向右以及，直线则其值就是介于曲线
上为非负连续函数，在收敛的几何意义是：若
xaxxfy
axfdxxf
a
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???
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)(
),[)()()2(
同理可给出
上],()2( b?? ??
????? ?
b
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b dxxfdxxf )(l i m)(
上),()3( ????
),(),(],[)( ??????????? auvxf 上可积，则对在任何有限区间若
??? ???????? ?? aa dxxfdxxfdxxf )()()( ?? ?????? ?? uauauu dxxfdxxf )(lim)(lim
当且仅当上式右边两个无穷积分都收敛时，左边的无穷积分才收敛。
注意,
? ???? dxxf )( 的收敛性与收敛时的值，都与实数 a的选取无关。
)(xfy ?
O x
y
a
2,利用定义讨论无穷积分的敛散性以及求其值
方法,先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，无穷积分收敛,
极限值就是无穷积分的值；若极限不存在，无穷积分发散。
例 3,? ?＋
的敛散性。讨论无穷积分 1 1 dxx p
?
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结论,
? ?＋1 1 dxx p；值为
时收敛，当
1
1
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时发散。当 1)2( ?p
要求熟记
注意,
时发散。时收敛；而当当
此结论可以推广为：
＋
111
0
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?
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ppdx
x
a
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下面再看如何利用此结论解题
例 4,
? ?＋ 的敛散性。讨论无穷积分 2 )( ln 1 dxxx p
解题思路：无穷积分是通过定积分及极限来定义，可以考虑用定积分的有关
方法如换元积分法或分部积分法来处理
duudxxxxu pp? ?? ???? ＋，则解：设 2 2ln 1)( ln 1ln
时发散。时收敛；而当穷积分当由上例的结论得：该无 11 ?? pp
3,利用公式判别无穷积分的敛散性及求无穷积分的值
在定积分里，我们有牛顿－莱布尼兹公式,
? ???ba ba xfxFaFbFxFdxxf 的一个原函数）是其中 )()(()()()()(
既然 无穷积分是通过定积分及极限来定义，所以也可以考虑用类似的公式
来判别无穷积分的敛散性及计算无穷积分。
公式,
? ?? ????? ???a xa aFxFxFdxxf
xfxF
)()(l i m)()(
)()( 的一个原函数，则是设
其值；收敛，右边求出的就是存在时，其中当 ? ????? ax dxxfxF )()(lim
发散。不存在时，当 ? ????? ax dxxfxF )()(l i m
注意,上面的公式可以推广到另外两种无穷积分的情形。
例 5,? ?
?? ?
＋ 值。的收敛性，若收敛求其讨论无穷积分 dx
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1
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1
1
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x xx
a解：
? ??? ?＋ 。收敛，其值为故无穷积分 ?dxx 21 1
三, 无界函数的反常积分
1.瑕点的定义
的为函数的近旁是无界的，则称在点若函数 )()( 00 xfxxxf 瑕点。
2.无界函数反常积分的定义
定义 2,
为则称此极限
极限上有界且可积。若存在但在任何闭区间无界）
的任一右邻域在点的瑕点是上有定义，点在设
J
Jdxxf
babu
axfxfabaxf
b
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)2()(lim
],(],[,
)(()(],()(
无界函数 上在 ],()( baxf 的 反常积分 （简称 瑕积分 ），记为
?? ba dxxfJ )(
? ba dxxf )(并称 收敛。 ? ba dxxf )(2 ）不存在，称如果极限（ 发散。
注意,
。发散时它只是一个 记号瑕积分（是一个极限值）；当
收敛时它是一个数质上说，当瑕积分与无穷积分类似，从本
?
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)(
)(
同理可以给出另外几种情形的定义,
?? ?? uabuba dxxfdxxf
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_
的任一左邻域无界）在点的瑕点是若点
??
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当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才收敛。
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当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才收敛。
注意,的选取无关。，都与实数的收敛性与收敛时的值 cdxxfb
a? )(
2.讨论无穷积分的敛散性以及求其值的方法
(1) 利用定义
方法,先求相应的定积分，再讨论其极限是否存在，若存在，瑕积分收敛,
极限值就是瑕积分的值；若极限不存在，瑕积分发散。
例 6,?
?10 )0(1 的敛散性。讨论瑕积分 qdxx q
?
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结论,
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时收敛，当
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时发散。当 1)2( ?q
要求熟记
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注意,（ 1）此结论以后是经常用到的，要熟记。
（ 2）此结论可以推广为以下几种情形,
时发散。时收敛；而当当，瑕积分 11010)( 0 ????? ? qqdxxbA b q
时发散。时收敛；而当当瑕积分 110)( 1)( ????? qqdxaxB ba q
时发散。时收敛；而当当瑕积分 110)( 1)( ????? qqdxxbC ba q
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，定义对反常积分
0
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由例 3和例 6的结论知，右边两个反常积分不能同时收敛，故可知
结论,均发散。对任意实数反常积分 ＋ pdx
x p?
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0
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(2) 利用公式
公式,
? ?????ba axba xFbFxFdxxf
xfaxfxF
)(lim)()()(
)()()( 的瑕点，则是的一个原函数，点是设
其值；收敛，右边求出的就是存在时，其中当 ??? baax dxxfxF )()(lim
发散。不存在时，当 ??? baax dxxfxF )()(lim
注意,上面的公式可以推广到另外三种瑕积分的情形。
以下通过例子来说明
例 7,?
?
1
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1 的值。求瑕积分 dx
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