1
- M
y
M
x
o
y= f(x )
X
有界函数有界函数
§ 4 具有某些特性的函数
1,有界函数 若函数 )( xf 在定义域 D 上既有上界又有下界，则称 f 为 D 上
的 有 界函数。这个定义显然等价于，对一切 Dx ?,恒有 Kxf ?|)(|
有界函数的几何意义
M
2
M
- M
x
o
X
0
x
y
无界函数无界函数
请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义。
例 ),0(,s i n)( ???? xxxxf 是无界函数。 证 明 对 任意的
0?M,存在 Mnn ??
2
2:
?
?,取
2
2
?
? ?? nx
m
, 则
3
)( xfy ?
)(
1
xf
)(
2
xf
x
y
o
I
Mnxf
m
???
2
2)(
?
?
2,单调 函数
看下面函数的图像，给出单调函数的定义
)( xfy ?
)(
1
xf
)(
2
xf
x
y
o
I
4
o
- 2- 4
2 4
- 2
2
4
- 4
奇函数与偶函数
（ 1 ）定义域关于原点对称
（ 2 ）奇函数（偶函数）对任何 Dx ? 有 )()( xfxf ???,
（ )()( xfxf ?? ）
5
奇函数
)( xf ?
y
x
)( xf
o
x
- x
)( xfy ?
奇函数
两条缺一不可。
c l f,x = - 2, 1 / 2 0, 2 ; y 1 = x, ^ 3 ; y 2 = x, ^ 2 - 1;
s u b p l o t ( 1,2,1 )
p l o t ( x,y 1,' r ',' l i n e w i d t h ',2 ),h o l d o n
两条件缺一不可。
12
10
8
6
4
2
-5 5 10
x
y
o
x- x
偶函数
( ) ( )f x f x??
()y f x?
偶函数偶函数
6
奇、偶函数的运算性质
请看下面几个图象，回答奇偶函数的运算性质
c l f,x = - 1, 2 * p i, 1 / 2 0, 1, 2 * p i ; 1 ?、奇 奇= 偶？ ??2,奇 偶 奇？
??3,偶 偶 偶？ ??4,奇 奇 奇？
??5,偶 偶 偶？ 6 ??、偶 奇 奇 或是 偶？
思考题：
1,奇、偶函数的定义域是否都是关于原点对称的区间？
2,若数集A 关于原点对称，则在A 上有定义的函数f ( x ) 是
否一定可表为奇、偶函数之和？
7
o
-2 -4
2 4
-2
1
周期函数
例如常见的三角函数
1) 通常我们所说的周期总是指函数的最小周期
2) 有的周期函数不一定有最小周期,例如常函数是周期函数,
狄里克雷 函数，它们显然没有最小周期
8
思考题：
两周期函数之和是否为周期函数？
（可考察 f (x )= si nx 与 g (x )= si n 2 x 之和的情况。
再用反正法证明 f (x )+ g( x) 不是周期函数,）
- M
y
M
x
o
y= f(x )
X
有界函数有界函数
§ 4 具有某些特性的函数
1,有界函数 若函数 )( xf 在定义域 D 上既有上界又有下界，则称 f 为 D 上
的 有 界函数。这个定义显然等价于，对一切 Dx ?,恒有 Kxf ?|)(|
有界函数的几何意义
M
2
M
- M
x
o
X
0
x
y
无界函数无界函数
请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义。
例 ),0(,s i n)( ???? xxxxf 是无界函数。 证 明 对 任意的
0?M,存在 Mnn ??
2
2:
?
?,取
2
2
?
? ?? nx
m
, 则
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)( xfy ?
)(
1
xf
)(
2
xf
x
y
o
I
Mnxf
m
???
2
2)(
?
?
2,单调 函数
看下面函数的图像，给出单调函数的定义
)( xfy ?
)(
1
xf
)(
2
xf
x
y
o
I
4
o
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2 4
- 2
2
4
- 4
奇函数与偶函数
（ 1 ）定义域关于原点对称
（ 2 ）奇函数（偶函数）对任何 Dx ? 有 )()( xfxf ???,
（ )()( xfxf ?? ）
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奇函数
)( xf ?
y
x
)( xf
o
x
- x
)( xfy ?
奇函数
两条缺一不可。
c l f,x = - 2, 1 / 2 0, 2 ; y 1 = x, ^ 3 ; y 2 = x, ^ 2 - 1;
s u b p l o t ( 1,2,1 )
p l o t ( x,y 1,' r ',' l i n e w i d t h ',2 ),h o l d o n
两条件缺一不可。
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x
y
o
x- x
偶函数
( ) ( )f x f x??
()y f x?
偶函数偶函数
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奇、偶函数的运算性质
请看下面几个图象，回答奇偶函数的运算性质
c l f,x = - 1, 2 * p i, 1 / 2 0, 1, 2 * p i ; 1 ?、奇 奇= 偶？ ??2,奇 偶 奇？
??3,偶 偶 偶？ ??4,奇 奇 奇？
??5,偶 偶 偶？ 6 ??、偶 奇 奇 或是 偶？
思考题：
1,奇、偶函数的定义域是否都是关于原点对称的区间？
2,若数集A 关于原点对称，则在A 上有定义的函数f ( x ) 是
否一定可表为奇、偶函数之和？
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o
-2 -4
2 4
-2
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周期函数
例如常见的三角函数
1) 通常我们所说的周期总是指函数的最小周期
2) 有的周期函数不一定有最小周期,例如常函数是周期函数,
狄里克雷 函数，它们显然没有最小周期
8
思考题：
两周期函数之和是否为周期函数？
（可考察 f (x )= si nx 与 g (x )= si n 2 x 之和的情况。
再用反正法证明 f (x )+ g( x) 不是周期函数,）
