1
§ 2 数集 ·确界原理
教学内容,
区间与邻域；有界集与确界原理
重点：区间与邻域的概念，确界定义与确界原理
要求：正确理解数集上下确界与数集上下界的定义。
R本节先定义 中两类重要的数集——区间与邻域，然后讨论有
界集并给出确界定义与确界原理。
a b
a b
§ 2 数集, 确界 原理
一 区 间 与 邻 域,
区间,
),( ba记作
}{ bxax ?? ],[ ba记作
称 为开 区 间,
称 为 闭 区 间,
}{ bxax ??
2
a b
a b
§ 2 数集, 确界 原理
一 区 间 与 邻 域,
区间,
),( ba记作
}{ bxax ?? ],[ ba记作
称 为开 区 间,
称 为 闭 区 间,
}{ bxax ??
a b
a b
§ 2 数集, 确界 原理
一 区 间 与 邻 域,
区间,
),( ba记作
}{ bxax ?? ],[ ba记作
称 为开 区 间,
称 为 闭 区 间,
}{ bxax ??
§ 数集 确界 原理
一 区 间 与 邻 域
区间,
记作
记作
称 为开 区 间
称 为 闭 区 间
a b
}{ bxax ?? 称为半开区间,),[ ba记作
3
a b
ao
}{ bxax ?? ],( ba记作称为半开区间,
}{),[ xaxa ???? 无限区 间
4
x
ao
o xb
}{),[ xaxa ????
}{),( bxxb ????
),( ????
x
5
（见下页示图）
6
x
??
a??a ??a
7
二 有界数集, 确 界原理,
1,有界数集,
定 义 ( 上、下有界,有界 ) 设 S 为实数 R 上的一个数集，若存在一个数 M （ L ）,
使得对一切 Sx ? 都有 )( LxMx ??,则称 S 为有上界 ( 下界 ) 的数集。
若集合 S 既有上界又有下界，则称 S 为有界集。
例如, 闭 区 间, (,) (,a b a b 为 有限数）,邻 域等都是有界数集,集合
? ?),(,s i n ??????? xxyyE 也是有界数集,
无界数集, 若 对 任意 0M ?, 存在,| |x S x M??, 则 称 S 为 无界集。
例如,),0 (,) 0,(,),( ????????,有理数集 等都是无界数集,
例 1 证 明 集合
?
?
?
?
?
?
??? ) 1,0 (,
1
x
x
yyE 是无界数集,
8
证 明,对 任意 0M ?,存在
11
( 0,1 ),,1
1
x y E y M M
Mx
? ? ? ? ? ? ?
?
由无界集定 义, E 为 无界集。
确界, 先给 出 确界的 直 观 定 义, 若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上
界，其中最小的一个上界我们称它为数集 S 的上 确界,记作 Ss u p ；同样，有下
界数集的最大下界，称为该数集的下确界,记作 Si n f 。
M
M2 M1
上确界 上界
m2
m
m1
下确界 下界
9
确界的精确定义
定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数 ? 满足一下两条,
（ 1 ） 对一切 Sx ? 有 ??x,即 ? 是数集 S 的上界；
（ 2 ） 对 任意 0??, 存在 Sx ?
0
使得 ?? ??
0
x （即 ? 是 S 的最小上界）,
则称数 ? 为数集 S 的上确界。记作 Ss u p??
定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数 ? 满足一下两条,
1 ） 对一切 Sx ? 有 ??x,即 ? 是数集 S 的下界；
2 ） 对 任意 0??, 存在 Sx ?
0
使得 ?? ??
0
x （即 ? 是 S 的最大下界）,
则称数 ? 为数集 S 的下确界。记作 Si n f??
?
?? ?
0
x
0
x
? ?? ? S
设 是
（ ） 有
（ ） 对, 是,
设 是
） 有
） 对, 是,
10
确界的精确定义
定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数 ? 满足一下两条,
（ 1 ） 对一切 Sx ? 有 ??x,即 ? 是数集 S 的上界；
（ 2 ） 对 任意 0??, 存在 Sx ?0 使得 ?? ??0x （即 ? 是 S 的最小上界）,
则称数 ? 为数集 S 的上确界。记作 Ss u p??
定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数 ? 满足一下两条,
1 ） 对一切 Sx ? 有 ??x,即 ? 是数集 S 的下界；
2 ） 对 任意 0??, 存在 Sx ?0 使得 ?? ??0x （即 ? 是 S 的最大下界）,
则称数 ? 为数集 S 的下确界。记作 Si n f??
? ?? ?
0x
0x
? ?? ? S
设 是
（ ） 有
（ ） 对, 是,
设 是
） 有
） 对, 是,
例 1 （ 1 ）,
) 1(
1
?
?
?
?
?
? ?
??
n
S
n
则,_______i n f ______,s u p ?? SS
（ 2 ） ? ?,),0(,s i n ???? xxyyE 则
._________i n f ________,s u p ?? EE
定理 1,1 ( 确 界原理 ), 设 S 为 非空数集，若 S 有上界,则 S 必有上 确 界；
若 S 有下界,则 S 必有下 确 界。
证 明 ( 建教材 p7)
例 2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的,
例 3 设 S 和 A 是非空数集，且有,AS ? 则 有
.i n fi n f,s u ps u p ASAS ??,
例 4 设 A 和 B 是非空数集, 若 对 Ax ?? 和,By ?? 都有,yx ? 则 有
.i n fs u p BA ?
证 Ax ?? 和,By ?? 都有,yx ? y? 是 A 的上界,而 As u p 是 A 的最
小上界,s u p yA ?? 此式又 As u p ? 是 B 的下界,?? As u p Bi n f （ B 的最大
下界）
例 （ ） 则
（ ） 则
确 设 为 则 确
若 则 确
证 明
例
例 设 和 则 有
例 设 和 若 对 和 则 有
证 和 是 而 是
是 （
确
11
例 1 （ 1 ）,
) 1(
1
?
?
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?
?
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n
S
n
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（ 2 ） ? ?,),0(,s i n ???? xxyyE 则
._________i n f ________,s u p ?? EE
定理 1,1 ( 确 界原理 ), 设 S 为 非空数集，若 S 有上界,则 S 必有上 确 界；
若 S 有下界,则 S 必有下 确 界。
证 明 ( 建教材 p7)
例 2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的,
例 3 设 S 和 A 是非空数集，且有,AS ? 则 有
.i n fi n f,s u ps u p ASAS ??,
例 4 设 A 和 B 是非空数集, 若 对 Ax ?? 和,By ?? 都有,yx ? 则 有
.i n fs u p BA ?
证 Ax ?? 和,By ?? 都有,yx ? y? 是 A 的上界,而 As u p 是 A 的最
小上界,s u p yA ?? 此式又 As u p ? 是 B 的下界,?? As u p Bi n f （ B 的最大
下界）
例 （ ） 则
（ ） 则
确 设 为 则 确
若 则 确
证 明
例
例 设 和 则 有
例 设 和 若 对 和 则 有
证 和 是 而 是
是 （
例 5 A 和 B 为 非空数集,.BAS ?? 试证 明,
? ?, i n f,i n f m i ni n f BAS ?
证,Sx ?? 有 Ax ? 或,Bx ? 由 Ai n f 和 Bi n f 分 别 是 A 和 B 的下界,有
Ax i n f? 或 ? ?, i n f,i n f m i n,i n f BAxBx ???
即 ? ? i n f,i n f m i n BA 是数集 S 的下界,? ?, i n f,i n f m i ni n f BAS ??
又 SAS,?? 的下界就是 A 的下界,Si n f 是 S 的下界,Si n f ? 是 A 的下界,;i n fi n f AS ?? 同理有,i n fi n f BS ? 于是有
? ? i n f,i n f m i ni n f BAS ?,
综 上,有 ? ? i n f,i n f m i ni n f BAS ?,
1,数集与 确 界的 关 系, 确 界不一定属于原集合,
2,确 界与最 值 的 关 系, 设 E 为 数集,
E 的最 值 必属于 E,但 确 界未必,确 界是一 种临 界点,
非空有界数集必有 确 界 ( 见 下面的 确 界原理 ),但未必有最 值,
若 Em a x 存在,必有,s u pm a x EE ?, 对 下 确 界有 类 似的 结论,
12
例 5 A 和 B 为 非空数集,.BAS ?? 试证 明,
? ?, i n f,i n f m i ni n f BAS ?
证,Sx ?? 有 Ax ? 或,Bx ? 由 Ai n f 和 Bi n f 分 别 是 A 和 B 的下界,有
Ax i n f? 或 ? ?, i n f,i n f m i n,i n f BAxBx ???
即 ? ? i n f,i n f m i n BA 是数集 S 的下界,? ?, i n f,i n f m i ni n f BAS ??
又 SAS,?? 的下界就是 A 的下界,Si n f 是 S 的下界,Si n f ? 是 A 的下界,;i n fi n f AS ?? 同理有,i n fi n f BS ? 于是有
? ? i n f,i n f m i ni n f BAS ?,
综 上,有 ? ? i n f,i n f m i ni n f BAS ?,
1,数集与 确 界的 关 系, 确 界不一定属于原集合,
2,确 界与最 值 的 关 系, 设 E 为 数集,
E 的最 值 必属于 E,但 确 界未必,确 界是一 种临 界点,
非空有界数集必有 确 界 ( 见 下面的 确 界原理 ),但未必有最 值,
若 Em ax 存在,必有,s u pm ax EE ?, 对 下 确 界有 类 似的 结论,
上
例 和 为 明
证 有 或 由 和 分 别 是 和 有
或
即
又 是 是
综 上 有
确 关 系 确
确 值 的 关 系 设 为
值 但 确 确
确 界 见 确 值
若, 对 下 确 类
上
小结：
1,若数集E 存在上（下）确界，则上（下）确界是一个唯一确定
的实数。
例 5 A 和 B 为 非空数集,.BAS ?? 试证 明,
? ?, i n f,i n f m i ni n f BAS ?
证,Sx ?? 有 Ax ? 或,Bx ? 由 Ai n f 和 Bi n f 分 别 是 A 和 B 的下界,有
Ax i n f? 或 ? ?, i n f,i n f m i n,i n f BAxBx ???
即 ? ? i n f,i n f m i n BA 是数集 S 的下界,? ?, i n f,i n f m i ni n f BAS ??
又 SAS,?? 的下界就是 A 的下界,Si n f 是 S 的下界,Si n f ? 是 A 的下界,;i n fi n f AS ?? 同理有,i n fi n f BS ? 于是有
? ? i n f,i n f m i ni n f BAS ?,
综 上,有 ? ? i n f,i n f m i ni n f BAS ?,
1,数集与 确 界的 关 系, 确 界不一定属于原集合,
2,确 界与最 值 的 关 系, 设 E 为 数集,
E 的最 值 必属于 E,但 确 界未必,确 界是一 种临 界点,
非空有界数集必有 确 界 ( 见 下面的 确 界原理 ),但未必有最 值,
若 Em a x 存在,必有,s u pm a x EE ?, 对 下 确 界有 类 似的 结论,
2,
3,
上
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1
2
?
思考题：
、任何有限数集是否一定都存在上、下确界？
若都存在，它们分别是数集中的什么数？
、任何无限数集是否一定存在上、下确界？
3,若数集有界，则其上下界分别有多少个？
它的上下确界分别有多少个？
4,空集 有界吗？有确界吗？
§ 2 数集 ·确界原理
教学内容,
区间与邻域；有界集与确界原理
重点：区间与邻域的概念，确界定义与确界原理
要求：正确理解数集上下确界与数集上下界的定义。
R本节先定义 中两类重要的数集——区间与邻域，然后讨论有
界集并给出确界定义与确界原理。
a b
a b
§ 2 数集, 确界 原理
一 区 间 与 邻 域,
区间,
),( ba记作
}{ bxax ?? ],[ ba记作
称 为开 区 间,
称 为 闭 区 间,
}{ bxax ??
2
a b
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§ 2 数集, 确界 原理
一 区 间 与 邻 域,
区间,
),( ba记作
}{ bxax ?? ],[ ba记作
称 为开 区 间,
称 为 闭 区 间,
}{ bxax ??
a b
a b
§ 2 数集, 确界 原理
一 区 间 与 邻 域,
区间,
),( ba记作
}{ bxax ?? ],[ ba记作
称 为开 区 间,
称 为 闭 区 间,
}{ bxax ??
§ 数集 确界 原理
一 区 间 与 邻 域
区间,
记作
记作
称 为开 区 间
称 为 闭 区 间
a b
}{ bxax ?? 称为半开区间,),[ ba记作
3
a b
ao
}{ bxax ?? ],( ba记作称为半开区间,
}{),[ xaxa ???? 无限区 间
4
x
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o xb
}{),[ xaxa ????
}{),( bxxb ????
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x
5
（见下页示图）
6
x
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a??a ??a
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二 有界数集, 确 界原理,
1,有界数集,
定 义 ( 上、下有界,有界 ) 设 S 为实数 R 上的一个数集，若存在一个数 M （ L ）,
使得对一切 Sx ? 都有 )( LxMx ??,则称 S 为有上界 ( 下界 ) 的数集。
若集合 S 既有上界又有下界，则称 S 为有界集。
例如, 闭 区 间, (,) (,a b a b 为 有限数）,邻 域等都是有界数集,集合
? ?),(,s i n ??????? xxyyE 也是有界数集,
无界数集, 若 对 任意 0M ?, 存在,| |x S x M??, 则 称 S 为 无界集。
例如,),0 (,) 0,(,),( ????????,有理数集 等都是无界数集,
例 1 证 明 集合
?
?
?
?
?
?
??? ) 1,0 (,
1
x
x
yyE 是无界数集,
8
证 明,对 任意 0M ?,存在
11
( 0,1 ),,1
1
x y E y M M
Mx
? ? ? ? ? ? ?
?
由无界集定 义, E 为 无界集。
确界, 先给 出 确界的 直 观 定 义, 若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上
界，其中最小的一个上界我们称它为数集 S 的上 确界,记作 Ss u p ；同样，有下
界数集的最大下界，称为该数集的下确界,记作 Si n f 。
M
M2 M1
上确界 上界
m2
m
m1
下确界 下界
9
确界的精确定义
定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数 ? 满足一下两条,
（ 1 ） 对一切 Sx ? 有 ??x,即 ? 是数集 S 的上界；
（ 2 ） 对 任意 0??, 存在 Sx ?
0
使得 ?? ??
0
x （即 ? 是 S 的最小上界）,
则称数 ? 为数集 S 的上确界。记作 Ss u p??
定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数 ? 满足一下两条,
1 ） 对一切 Sx ? 有 ??x,即 ? 是数集 S 的下界；
2 ） 对 任意 0??, 存在 Sx ?
0
使得 ?? ??
0
x （即 ? 是 S 的最大下界）,
则称数 ? 为数集 S 的下确界。记作 Si n f??
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? ?? ? S
设 是
（ ） 有
（ ） 对, 是,
设 是
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确界的精确定义
定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数 ? 满足一下两条,
（ 1 ） 对一切 Sx ? 有 ??x,即 ? 是数集 S 的上界；
（ 2 ） 对 任意 0??, 存在 Sx ?0 使得 ?? ??0x （即 ? 是 S 的最小上界）,
则称数 ? 为数集 S 的上确界。记作 Ss u p??
定义 3 设 S 是 R 中的一个数集，若数 ? 满足一下两条,
1 ） 对一切 Sx ? 有 ??x,即 ? 是数集 S 的下界；
2 ） 对 任意 0??, 存在 Sx ?0 使得 ?? ??0x （即 ? 是 S 的最大下界）,
则称数 ? 为数集 S 的下确界。记作 Si n f??
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0x
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（ ） 有
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例 1 （ 1 ）,
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定理 1,1 ( 确 界原理 ), 设 S 为 非空数集，若 S 有上界,则 S 必有上 确 界；
若 S 有下界,则 S 必有下 确 界。
证 明 ( 建教材 p7)
例 2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的,
例 3 设 S 和 A 是非空数集，且有,AS ? 则 有
.i n fi n f,s u ps u p ASAS ??,
例 4 设 A 和 B 是非空数集, 若 对 Ax ?? 和,By ?? 都有,yx ? 则 有
.i n fs u p BA ?
证 Ax ?? 和,By ?? 都有,yx ? y? 是 A 的上界,而 As u p 是 A 的最
小上界,s u p yA ?? 此式又 As u p ? 是 B 的下界,?? As u p Bi n f （ B 的最大
下界）
例 （ ） 则
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若 则 确
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例
例 设 和 则 有
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例 1 （ 1 ）,
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定理 1,1 ( 确 界原理 ), 设 S 为 非空数集，若 S 有上界,则 S 必有上 确 界；
若 S 有下界,则 S 必有下 确 界。
证 明 ( 建教材 p7)
例 2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的,
例 3 设 S 和 A 是非空数集，且有,AS ? 则 有
.i n fi n f,s u ps u p ASAS ??,
例 4 设 A 和 B 是非空数集, 若 对 Ax ?? 和,By ?? 都有,yx ? 则 有
.i n fs u p BA ?
证 Ax ?? 和,By ?? 都有,yx ? y? 是 A 的上界,而 As u p 是 A 的最
小上界,s u p yA ?? 此式又 As u p ? 是 B 的下界,?? As u p Bi n f （ B 的最大
下界）
例 （ ） 则
（ ） 则
确 设 为 则 确
若 则 确
证 明
例
例 设 和 则 有
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是 （
例 5 A 和 B 为 非空数集,.BAS ?? 试证 明,
? ?, i n f,i n f m i ni n f BAS ?
证,Sx ?? 有 Ax ? 或,Bx ? 由 Ai n f 和 Bi n f 分 别 是 A 和 B 的下界,有
Ax i n f? 或 ? ?, i n f,i n f m i n,i n f BAxBx ???
即 ? ? i n f,i n f m i n BA 是数集 S 的下界,? ?, i n f,i n f m i ni n f BAS ??
又 SAS,?? 的下界就是 A 的下界,Si n f 是 S 的下界,Si n f ? 是 A 的下界,;i n fi n f AS ?? 同理有,i n fi n f BS ? 于是有
? ? i n f,i n f m i ni n f BAS ?,
综 上,有 ? ? i n f,i n f m i ni n f BAS ?,
1,数集与 确 界的 关 系, 确 界不一定属于原集合,
2,确 界与最 值 的 关 系, 设 E 为 数集,
E 的最 值 必属于 E,但 确 界未必,确 界是一 种临 界点,
非空有界数集必有 确 界 ( 见 下面的 确 界原理 ),但未必有最 值,
若 Em a x 存在,必有,s u pm a x EE ?, 对 下 确 界有 类 似的 结论,
12
例 5 A 和 B 为 非空数集,.BAS ?? 试证 明,
? ?, i n f,i n f m i ni n f BAS ?
证,Sx ?? 有 Ax ? 或,Bx ? 由 Ai n f 和 Bi n f 分 别 是 A 和 B 的下界,有
Ax i n f? 或 ? ?, i n f,i n f m i n,i n f BAxBx ???
即 ? ? i n f,i n f m i n BA 是数集 S 的下界,? ?, i n f,i n f m i ni n f BAS ??
又 SAS,?? 的下界就是 A 的下界,Si n f 是 S 的下界,Si n f ? 是 A 的下界,;i n fi n f AS ?? 同理有,i n fi n f BS ? 于是有
? ? i n f,i n f m i ni n f BAS ?,
综 上,有 ? ? i n f,i n f m i ni n f BAS ?,
1,数集与 确 界的 关 系, 确 界不一定属于原集合,
2,确 界与最 值 的 关 系, 设 E 为 数集,
E 的最 值 必属于 E,但 确 界未必,确 界是一 种临 界点,
非空有界数集必有 确 界 ( 见 下面的 确 界原理 ),但未必有最 值,
若 Em ax 存在,必有,s u pm ax EE ?, 对 下 确 界有 类 似的 结论,
上
例 和 为 明
证 有 或 由 和 分 别 是 和 有
或
即
又 是 是
综 上 有
确 关 系 确
确 值 的 关 系 设 为
值 但 确 确
确 界 见 确 值
若, 对 下 确 类
上
小结：
1,若数集E 存在上（下）确界，则上（下）确界是一个唯一确定
的实数。
例 5 A 和 B 为 非空数集,.BAS ?? 试证 明,
? ?, i n f,i n f m i ni n f BAS ?
证,Sx ?? 有 Ax ? 或,Bx ? 由 Ai n f 和 Bi n f 分 别 是 A 和 B 的下界,有
Ax i n f? 或 ? ?, i n f,i n f m i n,i n f BAxBx ???
即 ? ? i n f,i n f m i n BA 是数集 S 的下界,? ?, i n f,i n f m i ni n f BAS ??
又 SAS,?? 的下界就是 A 的下界,Si n f 是 S 的下界,Si n f ? 是 A 的下界,;i n fi n f AS ?? 同理有,i n fi n f BS ? 于是有
? ? i n f,i n f m i ni n f BAS ?,
综 上,有 ? ? i n f,i n f m i ni n f BAS ?,
1,数集与 确 界的 关 系, 确 界不一定属于原集合,
2,确 界与最 值 的 关 系, 设 E 为 数集,
E 的最 值 必属于 E,但 确 界未必,确 界是一 种临 界点,
非空有界数集必有 确 界 ( 见 下面的 确 界原理 ),但未必有最 值,
若 Em a x 存在,必有,s u pm a x EE ?, 对 下 确 界有 类 似的 结论,
2,
3,
上
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1
2
?
思考题：
、任何有限数集是否一定都存在上、下确界？
若都存在，它们分别是数集中的什么数？
、任何无限数集是否一定存在上、下确界？
3,若数集有界，则其上下界分别有多少个？
它的上下确界分别有多少个？
4,空集 有界吗？有确界吗？
