微分中值定理及其应用
目的,
掌握理解几个中值定理的内容实质,熟练掌
握罗比塔法则求各种不定式极限的方法,
会利用导数求极值,证明不等式,判别函
数的单调性、凹凸性。
重点难点,
罗比塔法则运用，泰勒定理
微分中值定理
及其应用
微分中值定理及其应用
0x
在前一章,我们介绍了函数的导数以及微分的
概念,求导数微分的运算法则, 我们知道函
数在一点 的导数反映的是函数在该点处关
于自变量的变化率,几何上表现为在平面曲线
上一点 处曲线的切线的斜率,
数学分析的研究对象是变量与变量之间相互
变化的依赖关系 ---函数,
0x
)( xfy ? ),( yx
这一章我们来讨论如何利用导数 的已知性
质来推断函数 的性质,包括函数的单调性、
极值、凹凸性以及求不定式的极限等,在微分
概念基础上建立的微分中值定理是我们进行
这些讨论的有效工具,
'f
f
第一节 拉格朗日定理和
函数的单调性
问题 1,如果函数 在 处可微,则有函数改变量、自
变量改变量以及函数导数之间的关系
此时,要求 和 之间距离很小,是否可以将上述
公式中的近似等式变成严格等式,而且取掉自变量改变
量很小的限制？即将这里的局部性质变成整体性质，如果
要能这样作，对函数需要什么要求？导数应是何初的值？
)( xfy ?
0x
))(()()( 000 xxxfxfxf ????
0xx
? 问题 2,常量函数的导数处处为零,导数
处处为零的函数一定是常数吗?
? 问题 3,函数 在点 可导,则有
即在 附近,用一次多项式
)(xf 0x
)())((')()( 0000 xxoxxxfxfxf ?????
0x
))((')( 000 xxxfxf ??
? 逼近函数 时,其逼近误差为
的高阶无穷小量, 那么,当 在 满足什
么条件时,可以用一个 次多项式逼近它,
而且误差为 的高阶无穷小量?
)(xf )(
0xx ?
)(xf
0x
n
nxx )( 0?
? 问题 4,对于函数求极限,如果其分子、分母
的极限均为零或均为无穷大时，不能再利
用除法公式进行计算。但我们知道导数存
在时,导数定义中的求导正是处理分子分母
极限均为零时的一种特殊商函数的极限,对
于一般情形,求极限可否借助于导数来计算?