§ 4 二重积分的变量交换
教学重点,二重积分的变量变换（主要为线性变换,
（广义）极坐标变换）
教学内容, 1.二重积分的变量替换公式
2.二重积分的一般变量变换
3.二重积分的极坐标变换
教学难点,变量变换后积分限的确定
一、二重积分的变量交换公式
1.引理,
.),()],(),,([),(;0
),(
),(
),()2(
),(),,()1(
),(),,(:
),(13.21
????
?
?
?
?
?
??
?
?
??
d u d vvuJvuyvuxfd x d yyxf
vu
yx
vuJ
vuyvux
Dx o y
uovvuyyvuxxTD
x o yyxf
D
则有
上雅可比式在；上具有一阶连续偏导数在
，且满足平面上的闭区域地映成
一一曲线所围成的闭区域平面上由按段光滑封闭
将上可积，变换
平面上的有界闭区域在设定理
2.二重积分的变量替换公式,
x,y的范围 u,v的范围 要加绝对值
3.利用一般变量替换求二重积分
步骤,⑴ 根据题目的特点 (区域及被积函数 )确定变换 ;
),(),,( vuyyvuxx ??习惯上：设
),(
),(),()2(
vu
yxvuJ
?
??求出
有两种办法求若是设 Jyxvvyxuu ),,(),,( ??
Jvuyyvuxxi,再求先求出 ),(),,()( ??
),(
),(
1
,
),(
),(
)(
yx
vu
J
yx
vu
ii
?
??
?
＝再求先求出
(3)在变换下确定 u,v的范围△ ;
的边界曲线的边界曲线中，求出把变换代入 ?D
作图
(4)代入变换替换公式，化为关于 u,v的二重积分 ;
(5)用 § 2求二重积分的方法求出其值。
题型一：引入变量替换后，化为累次积分
例 1,P242习题 3（ 2）
.co ss i n4)s i n,co s( 3344??
?
? vd u d vvuvuvuf原式
20,0:
?????? vau
例 2
D
x
y
o
1?? yx
?
u
v
o
vu?vu ??
1?v
题型二：作适当的变量替换，计算二重积分
1
1
例 3
O x
y
二、用极坐标计算二重积分
1.变换
?? s i n,co s,ryrxT ??变换
??
?
20,0 ?????? r
xOPr 轴正向的夹角与为为极径，其中
,
O x
y P(x,y)
r
?
rrJ ?),( ?此时
2.适用范围
(1)D为圆域或圆域的一部分；
形式。被积函数含 22)2( yx ?
iiiiii rrr ??? ?????????
22
2
1)(
2
1
iiii rrr ??????? )2(2
1
ii
iii rrrr ????????
2
)(
,iii rr ??????
.)s i n,c o s(),( ????
?
?
DD
d r drrrfd x d yyxf ???
i??
Ao
D
irr?
ii rrr ???
ii ??? ???
i???
3.变换公式
———— 二重积分化为二次积分的公式
.)s in,c o s()( )(2
1??
? ?? ???? ??? r d rrrfd
??
D
r d r drrf ??? )s i n,co s(
区域特征如图
,??? ??
).()( 21 ???? ?? r
??
A
D
o
)(1 ???r )(2 ???r
① 二重积分化为二次积分的公式（１）
3.D'的确定
把极坐标代入边界得出 D'的边界
.)s in,c o s()(0??? ???? ??? r d rrrfd
② 二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
,??? ??
).(0 ???? r
??
D
r d r drrf ??? )s i n,co s( Ao
D
)(???r
??
常见区域 D'的确定
)(2:)1( 22 如图RxyxD ??
x O
y
2R R
?co s22 Rrr ??
???? c o s20,22,RrD ??????
)(2:)2( 22 如图RyyxD ??
?s i n22 Rrr ??
??? s i n20,0,RrD ?????
O x
y
2R
R
??
D
r d r drrf ??? )s i n,co s(
.)s in,c o s()(020 ??? ??? ??? r d rrrfd
极坐标系下区域的面积,???
D
r d r d ??
③ 二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
).(0 ???? r
D
o A
)(???r
,2????0
常见区域 D'的确定
)(:)3( 222 如图RyxD ??
x
y
O R
R
22 Rr ??
RrD ????? 0,20,??
题型一：引入极坐标变量替换后，化为累次积分
例 4,P242习题 1（ 2）
x O
1
??? s i n0,20,????? rD
2a r c s i n,10:
?? ????? rrD
y
例 5 写出积分 ??
D
d x d yyxf ),( 的极坐标二次积分形
式，其中积分区域
,11|),{(
2
xyxyxD ????? }10 ?? x,
1??yx
122 ?? yx
练习,P242习题 1（ 1）
例 6
例 7
?
?
?
c o s0
,
2
0:
Rr
D
??
???
例 8 计算 dxdye
D
yx?? ?? 22,其中 D 是由中心
在原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域,
例 9 求广义积分 ? ? ?0 2 dxe x,
S
1D
2D )1( 222 a
D
yx ed x d ye ??? ???? ?
??? ?? d x d ye
D
yx
1
22
dx dye
S
yx?? ?? 22 d x d ye
D
yx?? ???
2
22
2
0
)( 2 dxea x? ? )1(
4
1 22 ae ??? ??? ? )1(
4
1 2ae?
2
??