§4?定积分在的物理的某些应用 ?学习目标：能够运用定积分解决物理问题 学习要点：引力，变力沿直线所做的功 学习基础：分部积分法，换元法 ?1 ?变力沿直线所作的功 从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力F作用，并且力F 的方向与物体运动的方向一 致，那么，当物体移动了距离s时,力F 对物体所作的功是 ??如果物体在运动过程中所受到的力 是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例1说明如何计算变力所作的功 例1 把一个带电量为 的点电荷放在 轴的原点 处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力 ，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点 为 的地方，那么电场对它的作用力 的大小为 （ 是常数），如图，当这个单位正电荷在电场中从 处沿 轴移动到 处 时，计算电场力 对它所做得功. 解 ?在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的，取 为积分变量，它的变化区间 为 ，在 上任取一小区间 ，当单位正电荷从 移动到 时，电场力对它所作的功近 似于 ，从而得功元素为 ??? ?于是所求的为 ? ?  ? 例2????????? 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长10m和6m,高为20m,较长的底边与水面相齐， 计算闸门的一侧所受的水压力。 ?解 ?如图3.9.2 以闸门的长底边的中点为原点且铅直向下作 轴,取 为积分变量，它的变化范围为 .在 上任取一个小区间 ,闸门上相应于该小区间的窄条各点处所受到水的压强近似于 ,这窄条的长度近似为 ,高度为 ,因而这一窄条的一侧所受的水压力近似为 ??????????  ?就是压力元素，于是所求的压力为 ????????   例3????????? 设有一根长度为 、线密度为 的均匀细直棒，在其中垂线上距棒 单位处有一质量为 的质点 。试计算该棒对质点 的引力 ?解 取坐标系如图3.9.3所示，使棒位于 轴上，质点 位于 轴上，棒的中点为原点 ，取 为积分 变量，它的变化区间为 。 ?在 上任取一小区间 ，把细直棒上相应于 的一段近似的看成质点，其质量 为 ?，与 相距 ，?因此 可以按照两质点间的引力计算公式求出这段细直棒对质点 的 引力 的大小为  从而求出 在水平方向分力 的近似值，即细直棒对质点 的引力在水平方向分力 的元素为? ???????????????????  ?于是得到引力在水平方向的分力为 ? ?上式中的负号表示 指向 轴的负向，又由对称性知，引力在铅直方向分力为  ?? 平均值 内容概述：本节介绍函数的平均值求法 学习时数：2 学习目标：了解平均值的求法 学习要点：函数的算术平均值、函数的加权平均值、函数的均方平均值 学习基础：微积分基本定理 函数的算术平均值 ????在实际问题中，常常用一组数据的算术平均值来描述这组数据的概貌。例如，对某一零件的长度进行 次 测量，测得的值为 。这时，可以用 的算术平均值 ????????? 作为这一零件的长度的近似值。但是，在工程技术与自然科学中，有时还要考虑一个连续函数 在区 间 上所取得“一切值”的平均值。例如求交流电在一个周期上的平均功率就是这样的例子。下面就 来讨论如何规定即计算连续函数? ?在区间 ?上的平均值。 先把区间 分成 等分，设分点为  ?每个小区间的长度为 。设在这些分点处 的函数值依次为 ，那么可以用 的平均值 ? 来近似表达函数 在 上所取的"一切值"的平均值,如果 取的比较大,那么上述平均值就能比较确切 地表达函数 在 上所取的"一切值"的平均值.因此自然地,我们就称极限?  为函数 在区间 上的算术平均值(简称平均值).现在 ? ?因此得连续函数 在区间 上的平均值 等于函数 在区间 上的定积分除以区间 ?的长度 ?, 即 ???????????????????? 请读者注意我们是怎样从有限多个数值的算术平均值的概念出发,演化出连续函数在一个区间上的平均值 的定义的,其中关键之举是使用了极限方法. 函数的加权平均值 ?我们以商业中的一个问题为例来讨论函数的加权平均. 假设某商店销售某种商品,以每单位商品售价 元,销售了 各单位商品,调整价格后以每单位商品售 价 元, ?销售了 个单位商品. 那么,在整个销售过程中, 这种上平的平均售价为 (元) 这种平均成为加权平均. 一般地设 为实数, ?,称  为 ??关于 ?的加权平均值,其中 称为资料数据 称为权数. 当 时, 加权平均就是算术平均。 ?现在我们讨论连续变量的情形. 假设某商店销售某种商品, 在时间段 内, 该商品的售价与单位 时间内的销售量都与时间有关. 如果已知在时刻 时, 售价 , 单位时间内的销售量 , 那么 如何计算这种商品在时间段 上的平均售价呢? 下面我们用元素法分析, 并且给出他的计算方法. 在区间 上任取一小区间 . 在这短暂的时间间隔内, 这种商品的售价近似于 , 销售 的数量近似于 , 因此, 在这段短暂的时间间隔内, 销售这种商品所得到的收益近似于  这就是在 这段时间内销售这种商品所得收益的元素  于是, 在 这段时间内销售这种商品的总收益与销售总量分别为 ??与 ?? 从而这段时间内这种商品的平均售价为  ?一般地,如果 , , 且 那么  成为函数 关于权数 在区间 ?上的加权平均值. 若令 ?, 加权平均就变成了算术平均