第十一章 反常积分 教学要点 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学时数? 8学时 教学内容 §1? 反常积分的概念? （4学时） ??? 反常积分的引入，两类反常积分的定义 反常积分的计算。 §2 ?无穷积分的性质与收敛判别? （4学时） ??? 无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法 与Abel判别法。 §3? 瑕积分的性质与收敛判别 ?瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 考核要求 掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛 和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别 法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。 ???? ?§1? 反常积分概念?? ?? ??一? 问题的提出 例1（第二宇宙速度问题）在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？? 解? 设地球半径为，火箭质量为 地面重力加速度为，有万有引力定理，在距地心处火箭受到的引理为 ? ?于是火箭上升到距地心处需要做到功为 ??????????????  ?当时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 ? ?在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使 ????????????  ?例2 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？ ?  ? 解 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为时，水从小孔里流出的速度为 ?? ??????????? ? 设在很短一段时间内，桶里水面降低的高度为，则有下面关系： ????? ????????????? 由此得???  所以流完一桶水所需的时间应为 ? ?但是，被积函数在上是无界函数，，所一我们取 ? ?相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。 ?二??反常积分的定义 ?1 无穷限反常积分的定义????? ? ， . ?????????????  无穷限反常积分几何意义 ?例1? ⑴? 讨论积分 ?, ?, 的敛散性 . ??????⑵?? 计算积分?.?????? ?例 2?? 讨论以下积分的敛散性 : ???⑴???? ;????????? ⑵??? . 例3????????????? 讨论积分的敛散性 . ? 2 瑕积分的定义:? 以点为瑕点给出定义. 然后就点为瑕点、点 为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明. ??例4?? 判断积分的敛散性 . ? 例6? 讨论瑕积分的敛散性 , 并讨论积分的敛散性 . ??瑕积分与无穷积分的关系:? 设函数连续 , 为瑕点. 有 ?????????? ?, 把瑕积分化成了无穷积分; ?设, 有 ，把无穷积分化成了瑕积分???