1
2
22
2
2 2 2 2
2 sin,c o s ) ;
3 sin,c o s )
21
1,sin,c o s,
2 11
2 2 1 2
,sin,c o s ),.,
1 1 1 1
R x x
R x x d x
x t t
tg t x x
tt
tt
d x d t R x x d x R d t
t t t t
?
? ? ?
??
?? ?
? ? ? ??
? ? ? ???
?
?
、三角函数有理式用 （ 表示
,（ 的求法：
）、万能置换法：令 则
（
从而可用有理函数的积分法求出其积分。
1 ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
u x v x
u x v x
u x v x R
二、三角函数有理式的不定积分
、, 的有理式
由, 及常数经过有限次的四则运算所得到的函
数称为关于, 的有理式，并用（u(x)、v(x))表示。
2
在理论上，任一有理三角函数的不定积分，通过万能置换法总可
以求出其积分，但其计算过程都比较烦琐，因此在特殊的情况下，
一般不采用此方法。（见下面介绍）
2 2 2
2
2)
1
1 c os 2
si n c os, si n,
2
1 c os 2
c os,
2
si n, c os, si n, si n, c os, c os, ( )
x
a mx dx mx dx x
x
x
b mx nx dx mx nx dx mx nx dx m n
?
?
?
?
?
??
? ? ?
、特殊情形的求法：
（）、三角恒等变换法
、对于,,可利用倍角公式
来计算
、对于,,,
可用三角函数的积化和差公式：
3
? ? ?
? ?
22
11
si n, si n c os( ) c os( ),si n, c os si n( )
22
c os( )
1
c os, c os c os( ) c os( ),
2
si n c os,
1
si n c os si n 2 ;
2
1 c os 2 1
si n ; c os
2
mn
c x x dx m n
m n x x x
x
xx
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
??
??
?
，
求出其积分。
、对于 当, 中有一奇数时，可拆开它，然后用
凑微分法求其积分；
当, 均为偶数时，可利用倍角公式：
c os 2
2
x
反复使用即可求出其积分。
4
( 2) ( sin,c os ) ( sin,c os ),( sin,c os )
c os sin ; ( sin,c os )
( sin,c os ) c os ; ( sin,c os )
( sin,c os ),.
( sin,c os )
2
R x x R x x R x x
x x t R x x
R x x x t R x x
R x x tgx t c tgx t
R x x dx
? ? ?
??
? ? ? ? ?
? ? ?
?
、若 即
关于 是奇函数，则令,若
，则令：
则令,或 在何种情况下，
才考虑用万能置换法？
一般地，不满足上述 ）的各种特殊情形 的，才考虑用万
能置换法。
1
2
1
s i n c o s,
1
(
m m n n
nnd x d x x d x I t g x d x t g x In
?
?? ? ??
?
? ? ?
6 4 4 4 4 7 4 4 4 4 8拆项与反复使用倍角公式
、对于,
可用分部积分法 递推公式求出）
5
? ?
1
1,,,;
2,
n
n
n
n
n
ax b
R x ax b dx R x dx
c x d
ax b
ax b t t
c x d
R x ax b ax
?? ?
? ??
??
?
??
?
? ? ?
?
??
??
L
三、某些无理（根式）函数的不定积分
一般的无理（根式）函数的不定积分并不一定能求得出来，而对于
一些简单的无理函数则可通过适当的代换可化为有理函数的不定积
分，作代换的目的就是去掉根号。以下是一些常见无理（根式）函
数的不定积分的求法：
、形如 或,可作变换：
或：
、形如,,? ? 1,,,,
k
k
n
nn
ax b ax b
b dx R x dx
c x d c x d
?? ??
??
??
??
??
L或：
6
? ?
? ?
12
3
4
1
1112
12
64
11 14 12 8 15 13 9
3
5 13 3
4 12 4
,,,,;
21
1.
,,12,0.
2 1 4 24 4
.1 2 12 2
5 13 3
4 24 4
.
5 13 3
n
n
k
ax b
ax b t t n n n n
c x d
xx
dx
x
t x x t dx t dt t
tt
t dt t t t dt t t t C
t
x x x C
?
? ? ? ?
?
??
? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
??
L可作变换,或,其中：
例求
解：令
原式
7
? ?
?
?
22
2
2 2 2
2
3,,0,0,
1 0,
2
1 0,,
3 2 3 ( 2 3 )
,,
2 ( 1 ) 2 ( 1 )2 ( 1 )
R x a x b x c d x a a x b x c
a a x b x c t a x
t a x
a x t
t t t t t
x d x d t
tt t
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
?? ?
?
?
2
2
2
、形如 在一般的
情况下采用欧拉变换法：
（）第一欧拉变换法：若 令,或：
dx
例 求I =
x x - 2 x - 3
解：因 采用第一欧拉变换法，令 x - 2 x - 3 则可解出：
x - 2 x - 3
8
? ?
2
2 2 22
2
2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 3 2
..
3 2 ( 1 ) 323
2 2 2 3
a r c ta n a r c ta n,
3 3 3 3
t t t t
I d t d t
t t ttt
t x x x
cc
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
??
于是所求不定积分直接化为有理函数的不定积分：
? ?
22 0,;
c a x b x c x t c
x t c
? ? ? ? ?
??
（）、第二欧拉变换法：若 令：
或
2( 3 ) 0a x b x c ??? ? ?、第三欧拉变换法：若 有两个不同的实根 与,则
9
? ?
? ?
2
2
2
2 2 2 2
2
( ) ( ) ( ),( )
1,
2 ),
a x b x c a x x t x t x
dx
a x b x c
a x b x c
d X d X
A
X A A X
m x n d x
a x b x c
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
??
??
?
??
?
??
?
令,或 。
注：利用欧拉变换求积分，一般都引入相当复杂的计算，在一些
特殊的情况下，尽量避免欧拉变换法。
）、形如,先对 配方，最后还原成
以下三种情况之一：
或,。（其中 是常数）
、形如,利用凑微分法和配方后作代换后即可求
出其积分。
10
? ?
22
2 2 2 2
2
22
3,
4
1
5,(,3 ),,
3
n
ax bx c dx ax bx c
X A dX A X dX A
m x n ax bx c dx
dx
n N n x
t
x x a
n
?
? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
?
?
?
??
?
?
）、形如,对 配方最终还原成：
或,三种情况之一。（ 是常数）
）、形如,先凑微分，再利用已知
的积分公式。
）、形如,且 则令 再利
用凑微分法或由已知公式；当 时，则一般用第二换元法
（作三角函数变换去根号）
2
22
2
2 2 2 2
2 sin,c o s ) ;
3 sin,c o s )
21
1,sin,c o s,
2 11
2 2 1 2
,sin,c o s ),.,
1 1 1 1
R x x
R x x d x
x t t
tg t x x
tt
tt
d x d t R x x d x R d t
t t t t
?
? ? ?
??
?? ?
? ? ? ??
? ? ? ???
?
?
、三角函数有理式用 （ 表示
,（ 的求法：
）、万能置换法：令 则
（
从而可用有理函数的积分法求出其积分。
1 ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
u x v x
u x v x
u x v x R
二、三角函数有理式的不定积分
、, 的有理式
由, 及常数经过有限次的四则运算所得到的函
数称为关于, 的有理式，并用（u(x)、v(x))表示。
2
在理论上，任一有理三角函数的不定积分，通过万能置换法总可
以求出其积分，但其计算过程都比较烦琐，因此在特殊的情况下，
一般不采用此方法。（见下面介绍）
2 2 2
2
2)
1
1 c os 2
si n c os, si n,
2
1 c os 2
c os,
2
si n, c os, si n, si n, c os, c os, ( )
x
a mx dx mx dx x
x
x
b mx nx dx mx nx dx mx nx dx m n
?
?
?
?
?
??
? ? ?
、特殊情形的求法：
（）、三角恒等变换法
、对于,,可利用倍角公式
来计算
、对于,,,
可用三角函数的积化和差公式：
3
? ? ?
? ?
22
11
si n, si n c os( ) c os( ),si n, c os si n( )
22
c os( )
1
c os, c os c os( ) c os( ),
2
si n c os,
1
si n c os si n 2 ;
2
1 c os 2 1
si n ; c os
2
mn
c x x dx m n
m n x x x
x
xx
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
??
??
?
，
求出其积分。
、对于 当, 中有一奇数时，可拆开它，然后用
凑微分法求其积分；
当, 均为偶数时，可利用倍角公式：
c os 2
2
x
反复使用即可求出其积分。
4
( 2) ( sin,c os ) ( sin,c os ),( sin,c os )
c os sin ; ( sin,c os )
( sin,c os ) c os ; ( sin,c os )
( sin,c os ),.
( sin,c os )
2
R x x R x x R x x
x x t R x x
R x x x t R x x
R x x tgx t c tgx t
R x x dx
? ? ?
??
? ? ? ? ?
? ? ?
?
、若 即
关于 是奇函数，则令,若
，则令：
则令,或 在何种情况下，
才考虑用万能置换法？
一般地，不满足上述 ）的各种特殊情形 的，才考虑用万
能置换法。
1
2
1
s i n c o s,
1
(
m m n n
nnd x d x x d x I t g x d x t g x In
?
?? ? ??
?
? ? ?
6 4 4 4 4 7 4 4 4 4 8拆项与反复使用倍角公式
、对于,
可用分部积分法 递推公式求出）
5
? ?
1
1,,,;
2,
n
n
n
n
n
ax b
R x ax b dx R x dx
c x d
ax b
ax b t t
c x d
R x ax b ax
?? ?
? ??
??
?
??
?
? ? ?
?
??
??
L
三、某些无理（根式）函数的不定积分
一般的无理（根式）函数的不定积分并不一定能求得出来，而对于
一些简单的无理函数则可通过适当的代换可化为有理函数的不定积
分，作代换的目的就是去掉根号。以下是一些常见无理（根式）函
数的不定积分的求法：
、形如 或,可作变换：
或：
、形如,,? ? 1,,,,
k
k
n
nn
ax b ax b
b dx R x dx
c x d c x d
?? ??
??
??
??
??
L或：
6
? ?
? ?
12
3
4
1
1112
12
64
11 14 12 8 15 13 9
3
5 13 3
4 12 4
,,,,;
21
1.
,,12,0.
2 1 4 24 4
.1 2 12 2
5 13 3
4 24 4
.
5 13 3
n
n
k
ax b
ax b t t n n n n
c x d
xx
dx
x
t x x t dx t dt t
tt
t dt t t t dt t t t C
t
x x x C
?
? ? ? ?
?
??
? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
??
L可作变换,或,其中：
例求
解：令
原式
7
? ?
?
?
22
2
2 2 2
2
3,,0,0,
1 0,
2
1 0,,
3 2 3 ( 2 3 )
,,
2 ( 1 ) 2 ( 1 )2 ( 1 )
R x a x b x c d x a a x b x c
a a x b x c t a x
t a x
a x t
t t t t t
x d x d t
tt t
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
?? ?
?
?
2
2
2
、形如 在一般的
情况下采用欧拉变换法：
（）第一欧拉变换法：若 令,或：
dx
例 求I =
x x - 2 x - 3
解：因 采用第一欧拉变换法，令 x - 2 x - 3 则可解出：
x - 2 x - 3
8
? ?
2
2 2 22
2
2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 3 2
..
3 2 ( 1 ) 323
2 2 2 3
a r c ta n a r c ta n,
3 3 3 3
t t t t
I d t d t
t t ttt
t x x x
cc
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
??
于是所求不定积分直接化为有理函数的不定积分：
? ?
22 0,;
c a x b x c x t c
x t c
? ? ? ? ?
??
（）、第二欧拉变换法：若 令：
或
2( 3 ) 0a x b x c ??? ? ?、第三欧拉变换法：若 有两个不同的实根 与,则
9
? ?
? ?
2
2
2
2 2 2 2
2
( ) ( ) ( ),( )
1,
2 ),
a x b x c a x x t x t x
dx
a x b x c
a x b x c
d X d X
A
X A A X
m x n d x
a x b x c
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
??
??
?
??
?
??
?
令,或 。
注：利用欧拉变换求积分，一般都引入相当复杂的计算，在一些
特殊的情况下，尽量避免欧拉变换法。
）、形如,先对 配方，最后还原成
以下三种情况之一：
或,。（其中 是常数）
、形如,利用凑微分法和配方后作代换后即可求
出其积分。
10
? ?
22
2 2 2 2
2
22
3,
4
1
5,(,3 ),,
3
n
ax bx c dx ax bx c
X A dX A X dX A
m x n ax bx c dx
dx
n N n x
t
x x a
n
?
? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
?
?
?
??
?
?
）、形如,对 配方最终还原成：
或,三种情况之一。（ 是常数）
）、形如,先凑微分，再利用已知
的积分公式。
）、形如,且 则令 再利
用凑微分法或由已知公式；当 时，则一般用第二换元法
（作三角函数变换去根号）
