§4? 函数的极值与最大(小)值 一? 可微极值点判别法:? 极值问题:? 极值点, 极大值还是极小值, 极值是多少. 1.?可微极值点的必要条件:? Fermat定理. 函数的驻点和(连续但)不可导点统称为稳定点, 稳定点的求法. 2.?极值点的充分条件: 对每个稳定点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点. 定理 4? (充分条件Ⅰ) 设函数在点 连续, 在邻域 ?和 ?内可导.? 则 ? ⅰ）? 在 ?内 ??在 ?内 ?时, ? ?为 ?的一个极小值点; ? ⅱ） ?在内?? 在内时,? 为 ?的一个极大值点; ? ⅲ） 若在上述两个区间内同号, 则 不是极值点. 定理 5? (充分条件Ⅱ) 设点 为函数 的驻点且存在，则 ? ⅰ）? 当时, 为的一个极大值点; ? ⅱ）? 当时, 为的一个极小值点. 证法一?? ?? 当 时, 在点的某空心邻域内与 ?异号,…… 证法二? 用Taylor公式展开到二阶, 带Peano型余项. 例2．求函数?? ?的极值点与极值。 第一步：求导，找出稳定点和不可导点 2*x^(2/3)+2/3*(2*x-5)/x^(1/3) s=sym('2*x^(2/3)+2/3*(2*x-5)/x^(1/3)'); s1=simplify(s)????????? ?? s1 =10/3*(x-1)/x^(1/3) 稳定点?? a=1,? 不可导点?? b=0 利用极值充分条件决定极大极小 , 算出极值 ? ?? ?  　 ?由此例看出，函数也可能在不可导点取得极值, 于是得出结论： 分段光滑函数的极值点的必要条件是: 它是稳定点或不可导点. ?例 3? 求函数? ?的极值点与极值。 第一步???? 对函数求导, 找出稳定点和不可导点 f='x^2+432/x';? dfdx=diff(f) dfdx = 2*x-432/x^2? 稳定点?? x0=6 y='2*x-432/x^2';? diff(y)? ans =2+864/x^3 ? clf,x=3:0.05:7; ?y=x.^2+432./x; ?plot(x,y) ? ?????  ? Th 6.12)(充分条件Ⅲ )? 设,而.则 ???? ⅰ）? 为奇数时, 不是极值点; ???? ⅱ）? 为偶数时, 是极值点. 且对应极小; 对应极大. 例? 求函数?? ?的极值 ? 二? 最大值最小值 先看三个函数的图象???? (c61) ?? ? ? ? ? ? ? 由上面图像看出，函数的最大最小值可能发生在稳定点处，不可导点处， 也可能发生在区间的端点。 因此, 函数的最大最小值点应从：稳定点, 不可导点, 端点 中去寻找， 这三种点中，函数取最大者为函 数的最大点，取最小者为函数的最小值点，因此求解最大最小点的步骤应为: 第一步? 求出稳定点, 不可导点和端点 第二步? 算出这些点处的函数值, 其中最大者就是最大值, 最小者就是最小值 例 4? 求函数 ??在区间 上的最大与最小值. 解：此函数是绝对值函数,且, 所以 x=0 是角点, 不可导点，再求函数的稳定点 ?f='2*x^3-9*x^2+12*x'; dfdx=diff(f) dfdx = 6*x^2-18*x+12 ? s='6*x^2-18*x+12=0'; z=solve(s) ? z = 1 ?2 ? 稳定点为 x=1,? 和x=2 计算稳定点,? 不可导点,? 端点的函数值, 决定出最大最小值 x=[-0.25,0,1,2,2.5]; f=abs(2*x.^3-9*x.^2+12*x) ? f =3.5938?? ?0 ， ?5.0000，?? 4.0000， ?5.0000 ? 最小值是 0 , 最大值是? 5. 观看一下它的图像 x=-0.25:0.01:2.5; y=abs(2*x.^3-9*x.^2+12*x); plot(x,y,'r')??? ???