1
第八章 不 定 积 分
§ 1不定积分概念与基本积分公式
教学内容,
1）不定积分的概念
2）不定积分与微分的关系
3）不定积分的基本积分公式
4）不定积分的线性性质
重点：不定积分与微分的关系，基本积分公式
要求：熟记基本积分公式和不定积分的线性性质
2
首先，我们简 要说明积分运算是如何产生的？
一般来说，在数学中，一种运算的出现都伴随着它的逆运算。
例如，有加就有减，有乘就有除，有乘方就有开方，等等。我们
前面学过的微分运算也不例外，它也有逆运算 — 积分运算。我们
已经知道，微分运算的基本问题是研究如何从已知函数求出它的
导函数，那么我们很自然地会提出与之相反的问题是：求一个未
知函数，使其导函数恰是某一已知函数。提出这样的逆问题，是
因为它存在于许多实际的问题中，例如：已知速度求路程；已知
加速度求速度；已知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足
的某一规律），求曲线方程等等。要解决这些实际问题，自然会
想到微分运算的逆运算，这就是产生积分运算的原因。
为了更好地理解积分运算是导数（微分）运算的逆运算，我
们在介绍积分运算时，把乘方运算（开方）和它作比较,
3
我们熟悉乘方运算,
)1(82 3 ???
也熟悉导数运算,
? ? )'1(22 ??xx ??
于是提出新问题,
? ? )2(8? 3 ??? ? ? )'2(2? ??x??
同样提出问题,
这不是乘方运算，而是它的逆运算 —
开方运算。
这不是求导运算，而是它的逆运算 —
积分运算。
一般来说，在下式里
? ? )3(3 ??ba ? ? ? )'3()()( ??xfxF ??
同样，在下式里
4
,3
,3
a b a
b
ba
ba
ba
ab
?
?
若 已知,未知，由
则称（）式为乘方
运算，称 为 的立方。
若 已知,未知，由
则称（）式为
开方运算，称 为 的
立方根。
( ) ( ) ( )
( ),3 '
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ),
3 ' ( )
()
F x f x F x
fx
f x F x f x
F x f x F x
Fx
fx
?
?
若 已知,未知，由
则称（）式为求导运算，
称 为 的导数。若 已
知,未知，由 则
称（）式为积分运算，称 为
的原函数。
通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以下先给出原函数
与不定积分的有关的定义。
一、原函数与不定积分
1 ( ) ( ),,f F I F x f x x I
F f I
? ? ? ?定义 设函数 与 在区间 上都有定义，若
则称 为 在区间 上的一个原函数。
5
? ?
? ?
3 2 3 2
3 2 3 2
11
,
33
11
(.
33
x x x x
x c c x x c x
?
??
? ? ? ? ???
??
?
??
? ? ? ? ? ? ???
??
Q
Q
例如,是 在, 上的一个原函数，
是任意常数）也是 在, 上的原函数，
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
3 c os 0.5 3 c os 3 si n
3 c os 0.5 3 c os 3 si n,
x x c x
x x c x
? ? ? ? ?? ? ?
??
? ? ? ? ? ?Q
同样,与 都是 在,
的原函数，
21( ) l n ( 1 ) ( )
2
F x x a rc tg x x f x a rc tg x? ? ? ?
如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推的话，那么
是 的一个原函数，
就没那么明显了，这样给我们提出了问题：
6
1
2
8.1
( ) ( ),.
(
f
F
f I f I
F F x f x x I? ??
、满足何种条件的函数才存在原函数？原函数有多少个？
这些原函数之间有何关系？
、若已知某个函数原函数存在，又如何把它求出来？
关于第一个问题，从例子里已看出，若 存在原函数
，则其原函数不止一个，我们有下面两个定理：
定理 若函数 在区间 上连续，则 在区间 上存
在原函数,即：
本定理到第九章才能证明）
7
1
2 sg n( )
0
8,2
1
( 2)
( ),
x
x
F f I
F C f C
fI
f F x
?
?
思考题：
、初等函数在其定义区间里是否一定存在原函数？（初等函数的原
函数不一定是初等函数）
、若函数存在间断点，它是否一定存在原函数？（可考虑函数：
在点 是否存在原函数）
定理 设 是 在区间 的原函数，则：
（）,也是 的原函数，其中 是任意常量函数（或称为任意
常数）；
,在区间 上任意 两个原函数之间，只可能相差一个常数。
即是说，如果 存在原函数 则它有无限,
,( )
f
F x C?
多个原函数 且 的全体
原函数可表为 。
8
.1c o s)(
)()()2
.1c o s)(
)()(1
)(2
),0()1,()(,
),0(,1
2
)1,(,
2
)(
,
2
)(:),,0()1,(,)(
)(1
2
2
2
??
??
??????
?
?
?
?
?
?
?
????
????
?
????????
xxf
xFxf
xxf
xFTxf
RfxF
xxf
x
x
x
x
xG
x
xFxxxf
xf
考虑：
是否为奇函数？是偶函数，那么如果、
考虑：
是否为周期函数？么为周期的周期函数，那是以）、如果
上的原函数，问：在是连续函数设、
如何？函数，它们之间的关系
的原在都是
则可考虑函数
？间是否仅相差一个常数
数彼此之的区间，那么它的原函的定义域是若干个分离如果函数、
思考题：
?
?
9
2
( ) ( ) ( 1 )
( ) ( ),
1
2
f I f I
f x d x F x C
f x f x d x x
??
?
?
关于第二个问题，其解答则是本章要介绍的各种积分法。
定义 （不定积分）函数 在区间 上的全体原函数称为 在 上的不定积分，
记作：
其中：为积分号,为被积函数,为被积表达式 为积分变量。
说明：
）、不定积分与原函数的关系是总体与个体的关系，即不定积分是一个
函数族，它不是一个函数。
）、不定积分的各个部分虽有其特定名称，但在使用时必须把他们看作
是一
3)
C
个整体。
、求不定积分，关键是要找到被积函数的一个原函数，再加上任意常数
即可。
10
。互相平行（即斜率均为
这些切线相同的点处作切线，则标
曲线上横坐显然，若在每一条积分
族（如右图）切积分曲线组成的曲线
轴方向任意平移所得一积分曲线沿
的某一示的不定积分在几何上表
，的一条积分曲线，于是的图象为
的一个原函数，则称是若
义：）、不定积分的几何意
))(
.
)(
4
xf
x
y
ff
f
xFyfF ?
00
00
( ) ( )
(,)
F x y
xy
?
在求原函数的具体的问题中，往往先求出全体原函数，然后从中确定
满足条件 称为初始条件，它由具体问题所决定的原函数，
它就是积分曲线族中通过点 的那条积分曲线。
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
动态演示不定积分的几何意义
O x
x
y
动态演示不定积分的几何意义
11
? ?
00
00
( ) ( ),( )
( ),( ),( ),
5)
1 ( ) ( ) ( ) ( ),
( 2) ( ) ( ) ( ) ( ),
8.3 (
a t v t a v t v
v t s t s s t
f x dx f x d f x dx f x dx
F x dx F x C dF x F x C
Th
?? ? ?
?
?
??
? ? ? ? ?
??
??
例：质点作匀加速直线运动时,求满足初始条件,的
又若已知,求
（解略）
、积分运算法则
求已知函数的不定积分运算，称为积分运算。关于积分运算有下列的
性质：
（）,或
、或
不定积分的线性运算法则
? ?
1 2 1 2
1 2 1 2
,
f g I
k k k f k g I
k f k g dx k fdx k gdx
?
? ? ?
? ? ?
）若函数 与 在区间 上都存在原函数，
为两个任意常数，则 在 上也存在原函数，且：
12
11
1
1
2, 1.
1
nn
i i i i
ii
k f dx k f dx
a dx x C
x dx x C
??
??
?
??
?
??
??
?
?? ??
??
??
? ? ? ?
?
????
??
?
线性运算法则更一般形式为：
证明
二、基本积分公式表
由于积分运算是导数运算的逆运算，所以导数公
式表中的每一个公式反转过来就得到了下列不定
积分的公式表：
1, adx=ax+C,其中 是常数
,其中 是常数，且
13
11
3 l n, 4,0,1,
ln
.
5 s i n c o s, 6 c o s s i n,
xx
xx
d x x C a d x a C a a
xa
e d x e C
x d x x C x d x x C
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
??
?
??
、, 其中 且
特别有:
、、
22
2
2
7, 8,
c os sin
9 a r c sin a r c c os,
1
10,
1
dx dx
tgx C c tgx C
xx
dx
x C x C
x
dx
arc tgx C
x
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
??
?
?
?
、
、
14
应用不定积分法则和基本的不定积分公式（以后还要补充）
能够求一些简单函数的不定积分。
? ?
1
0 1 1
4
2 2 2
1 ( ),
( ),
1
2, 3,
1 c os sin
4 c os 3, sin, 5 10 10,
nn
nn
xx
p x a x a x a x a
p x dx
x dx
dx
x x x
x x dx dx
?
?
?
? ? ? ? ?
?
?
?
?
??
??
L例 已知
求
例 求 例 求
例 求 例 求
第八章 不 定 积 分
§ 1不定积分概念与基本积分公式
教学内容,
1）不定积分的概念
2）不定积分与微分的关系
3）不定积分的基本积分公式
4）不定积分的线性性质
重点：不定积分与微分的关系，基本积分公式
要求：熟记基本积分公式和不定积分的线性性质
2
首先，我们简 要说明积分运算是如何产生的？
一般来说，在数学中，一种运算的出现都伴随着它的逆运算。
例如，有加就有减，有乘就有除，有乘方就有开方，等等。我们
前面学过的微分运算也不例外，它也有逆运算 — 积分运算。我们
已经知道，微分运算的基本问题是研究如何从已知函数求出它的
导函数，那么我们很自然地会提出与之相反的问题是：求一个未
知函数，使其导函数恰是某一已知函数。提出这样的逆问题，是
因为它存在于许多实际的问题中，例如：已知速度求路程；已知
加速度求速度；已知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足
的某一规律），求曲线方程等等。要解决这些实际问题，自然会
想到微分运算的逆运算，这就是产生积分运算的原因。
为了更好地理解积分运算是导数（微分）运算的逆运算，我
们在介绍积分运算时，把乘方运算（开方）和它作比较,
3
我们熟悉乘方运算,
)1(82 3 ???
也熟悉导数运算,
? ? )'1(22 ??xx ??
于是提出新问题,
? ? )2(8? 3 ??? ? ? )'2(2? ??x??
同样提出问题,
这不是乘方运算，而是它的逆运算 —
开方运算。
这不是求导运算，而是它的逆运算 —
积分运算。
一般来说，在下式里
? ? )3(3 ??ba ? ? ? )'3()()( ??xfxF ??
同样，在下式里
4
,3
,3
a b a
b
ba
ba
ba
ab
?
?
若 已知,未知，由
则称（）式为乘方
运算，称 为 的立方。
若 已知,未知，由
则称（）式为
开方运算，称 为 的
立方根。
( ) ( ) ( )
( ),3 '
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ),
3 ' ( )
()
F x f x F x
fx
f x F x f x
F x f x F x
Fx
fx
?
?
若 已知,未知，由
则称（）式为求导运算，
称 为 的导数。若 已
知,未知，由 则
称（）式为积分运算，称 为
的原函数。
通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以下先给出原函数
与不定积分的有关的定义。
一、原函数与不定积分
1 ( ) ( ),,f F I F x f x x I
F f I
? ? ? ?定义 设函数 与 在区间 上都有定义，若
则称 为 在区间 上的一个原函数。
5
? ?
? ?
3 2 3 2
3 2 3 2
11
,
33
11
(.
33
x x x x
x c c x x c x
?
??
? ? ? ? ???
??
?
??
? ? ? ? ? ? ???
??
Q
Q
例如,是 在, 上的一个原函数，
是任意常数）也是 在, 上的原函数，
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
3 c os 0.5 3 c os 3 si n
3 c os 0.5 3 c os 3 si n,
x x c x
x x c x
? ? ? ? ?? ? ?
??
? ? ? ? ? ?Q
同样,与 都是 在,
的原函数，
21( ) l n ( 1 ) ( )
2
F x x a rc tg x x f x a rc tg x? ? ? ?
如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推的话，那么
是 的一个原函数，
就没那么明显了，这样给我们提出了问题：
6
1
2
8.1
( ) ( ),.
(
f
F
f I f I
F F x f x x I? ??
、满足何种条件的函数才存在原函数？原函数有多少个？
这些原函数之间有何关系？
、若已知某个函数原函数存在，又如何把它求出来？
关于第一个问题，从例子里已看出，若 存在原函数
，则其原函数不止一个，我们有下面两个定理：
定理 若函数 在区间 上连续，则 在区间 上存
在原函数,即：
本定理到第九章才能证明）
7
1
2 sg n( )
0
8,2
1
( 2)
( ),
x
x
F f I
F C f C
fI
f F x
?
?
思考题：
、初等函数在其定义区间里是否一定存在原函数？（初等函数的原
函数不一定是初等函数）
、若函数存在间断点，它是否一定存在原函数？（可考虑函数：
在点 是否存在原函数）
定理 设 是 在区间 的原函数，则：
（）,也是 的原函数，其中 是任意常量函数（或称为任意
常数）；
,在区间 上任意 两个原函数之间，只可能相差一个常数。
即是说，如果 存在原函数 则它有无限,
,( )
f
F x C?
多个原函数 且 的全体
原函数可表为 。
8
.1c o s)(
)()()2
.1c o s)(
)()(1
)(2
),0()1,()(,
),0(,1
2
)1,(,
2
)(
,
2
)(:),,0()1,(,)(
)(1
2
2
2
??
??
??????
?
?
?
?
?
?
?
????
????
?
????????
xxf
xFxf
xxf
xFTxf
RfxF
xxf
x
x
x
x
xG
x
xFxxxf
xf
考虑：
是否为奇函数？是偶函数，那么如果、
考虑：
是否为周期函数？么为周期的周期函数，那是以）、如果
上的原函数，问：在是连续函数设、
如何？函数，它们之间的关系
的原在都是
则可考虑函数
？间是否仅相差一个常数
数彼此之的区间，那么它的原函的定义域是若干个分离如果函数、
思考题：
?
?
9
2
( ) ( ) ( 1 )
( ) ( ),
1
2
f I f I
f x d x F x C
f x f x d x x
??
?
?
关于第二个问题，其解答则是本章要介绍的各种积分法。
定义 （不定积分）函数 在区间 上的全体原函数称为 在 上的不定积分，
记作：
其中：为积分号,为被积函数,为被积表达式 为积分变量。
说明：
）、不定积分与原函数的关系是总体与个体的关系，即不定积分是一个
函数族，它不是一个函数。
）、不定积分的各个部分虽有其特定名称，但在使用时必须把他们看作
是一
3)
C
个整体。
、求不定积分，关键是要找到被积函数的一个原函数，再加上任意常数
即可。
10
。互相平行（即斜率均为
这些切线相同的点处作切线，则标
曲线上横坐显然，若在每一条积分
族（如右图）切积分曲线组成的曲线
轴方向任意平移所得一积分曲线沿
的某一示的不定积分在几何上表
，的一条积分曲线，于是的图象为
的一个原函数，则称是若
义：）、不定积分的几何意
))(
.
)(
4
xf
x
y
ff
f
xFyfF ?
00
00
( ) ( )
(,)
F x y
xy
?
在求原函数的具体的问题中，往往先求出全体原函数，然后从中确定
满足条件 称为初始条件，它由具体问题所决定的原函数，
它就是积分曲线族中通过点 的那条积分曲线。
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12
动态演示不定积分的几何意义
O x
x
y
动态演示不定积分的几何意义
11
? ?
00
00
( ) ( ),( )
( ),( ),( ),
5)
1 ( ) ( ) ( ) ( ),
( 2) ( ) ( ) ( ) ( ),
8.3 (
a t v t a v t v
v t s t s s t
f x dx f x d f x dx f x dx
F x dx F x C dF x F x C
Th
?? ? ?
?
?
??
? ? ? ? ?
??
??
例：质点作匀加速直线运动时,求满足初始条件,的
又若已知,求
（解略）
、积分运算法则
求已知函数的不定积分运算，称为积分运算。关于积分运算有下列的
性质：
（）,或
、或
不定积分的线性运算法则
? ?
1 2 1 2
1 2 1 2
,
f g I
k k k f k g I
k f k g dx k fdx k gdx
?
? ? ?
? ? ?
）若函数 与 在区间 上都存在原函数，
为两个任意常数，则 在 上也存在原函数，且：
12
11
1
1
2, 1.
1
nn
i i i i
ii
k f dx k f dx
a dx x C
x dx x C
??
??
?
??
?
??
??
?
?? ??
??
??
? ? ? ?
?
????
??
?
线性运算法则更一般形式为：
证明
二、基本积分公式表
由于积分运算是导数运算的逆运算，所以导数公
式表中的每一个公式反转过来就得到了下列不定
积分的公式表：
1, adx=ax+C,其中 是常数
,其中 是常数，且
13
11
3 l n, 4,0,1,
ln
.
5 s i n c o s, 6 c o s s i n,
xx
xx
d x x C a d x a C a a
xa
e d x e C
x d x x C x d x x C
? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
??
?
??
、, 其中 且
特别有:
、、
22
2
2
7, 8,
c os sin
9 a r c sin a r c c os,
1
10,
1
dx dx
tgx C c tgx C
xx
dx
x C x C
x
dx
arc tgx C
x
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
??
?
?
?
、
、
14
应用不定积分法则和基本的不定积分公式（以后还要补充）
能够求一些简单函数的不定积分。
? ?
1
0 1 1
4
2 2 2
1 ( ),
( ),
1
2, 3,
1 c os sin
4 c os 3, sin, 5 10 10,
nn
nn
xx
p x a x a x a x a
p x dx
x dx
dx
x x x
x x dx dx
?
?
?
? ? ? ? ?
?
?
?
?
??
??
L例 已知
求
例 求 例 求
例 求 例 求
