§2?柯西中值定理和不等式极限 一? 柯西中值定理 定理(6.5) 设 、满足 (i)? 在区间 上连续， (ii) 在 内可导 (iii)? 不同时为零; (iv)?  则至少存在一点 ?使得 ?????????????? ??????????????  ?柯西中值定理的几何意义 ? 曲线 由参数方程 ???? 给出，除端点外处处有不垂直于 轴的切线， 则 上存在一点 P处的切线平行于割线 .。 ?? 注意曲线 AB在点 处的切线的斜率为 ，  ? ? 而弦 ?的斜率为 . ? ? ? ? 受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下： 由于， ?? 类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数 ???????????????????  ?? 容易验证 满足罗尔定理的条件且  根据罗尔定理，至少有一点 ???使得 ? ，即  由此得  注2：在柯西中值定理中，取 ，则公式（3）可写成  这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令 ，则 .? 这恰恰是罗尔定理. 注3:设 在区间 I上连续，则 在区间 I上为常数 ， . 三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性 1、利用其几何意义 要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。 可以用这种几何解释进行思考解题： ? ??例1：设 在 （a ，b） 可导，且在 [a，b] 上严格递增，若，则对一切 有 。 证明：记A（），，对任意的x，记C（），作弦线AB，BC，应用拉格 朗日中值定理，使得分别等于AC，BC弦的斜率，但因严格递增，所以 ＜，从而 ＜ 注意到，移项即得＜，  2、利用其有限增量公式 要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式  进行思考解题： 例2：设上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证存在使得  证：上式左端  作辅助函数  则上式 =?， = ，其中  3、作为函数的变形 要点：若在[a，b]上连续，（a，b）内可微，则在[a，b]上 ?? （介于与之间） 此可视为函数的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以用它来研究函数的性质。 例3? 设在上可导，，并设有实数A＞0，使得≤在上 成立，试证 证明 ：在[0，]上连续，故存在] 使得 ==M 于是??M=≤A≤≤。 故 M=0，在[0，] 上恒为0。用数学归纳法，可证在一切[]（ i=1,2,…）上恒有 =0, 所以=0, 。 ? 利用柯西中值定理研究函数的某些特性 1.? 证明中值点的存在性:?? 例 1? 设函数在区间 ?上连续, ?在 ?内可导, ?则 , 使得 . 证? 在Cauchy中值定理中取 . 例2??设函数在区间 ?上连续, 在 ?内可导, 且有. 试证明: ?. 2.?证明恒等式:? 例3??证明: 对,? 有 . 例4??设函数和可导且又 ?则 . 证明 .  例5???设对,? 有 ,? 其中是正常数. 则函数是常值函数.????? (证明 ?). ?3.?证明不等式:? 例6?证明不等式:? 时,? . 例7?证明不等式:? 对，有. 4.??证明方程根的存在性:? 证明方程 ?在 ?内有实根. 例8?证明方程 ?在 ?内有实根. ? 四 、小结 本节课重点是拉格朗日中值定理及利用它研究函数的某些特性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 1°? 拉格朗日中值定理的内容及证明方法要熟练掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它 的特例是罗尔定理，它的推广是接下来我们要学习的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是沟通 函数及其导数的桥梁，是数学分析的重要定理之一。 2°? 构造辅助函数法是应用微分中值定理的基本方法。实际上，辅助函数法是转化问题的一种重要手 段，通过巧妙地数学变换，将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题，这种论证思想也是数 学分析的重要而常用的数学思维的体现。关于如何恰当地构造和选用辅助函数问题，请同学们结合第三 部分的题目仔细体会总结。 ? 二?? 不定式的极限 一.? ?型: 定理 6.6? (Hospital法则 )? 若函数 和满足： (i)??  (ii)?? 在点 的某空心邻域内而这可导，且； (iii)? 可为实数，也可为 ） 则??  ( 证 )???? 注意: 若将定理中的x 换成 ，只要相应地求证条件(ii)中的 邻域，也可以得到同样的结论。 例1? ? 例2? . 例3? .?? ( 作代换?或利用等价无穷小代换直接计算. ) 例4? .?? ( Hospital法则失效的例 ) ? 二.???型不定式 极限: 定理 6.7? (Hospital法则 )? 若函数 和满足： (i)??  (ii)?? 在点?的某右邻域内二这可导，且； (iii)? 可为实数，也可为 ） 则????  例5???. 例6?? . ?註:?? 关于?当?时的阶. x=5:0.1:50; y1=log(x);? y2=x.^(1/2); plot(x,y1,'b',x,y2,'m') ? ? ? ? ? ? ? ? ?右图看出? ??高于?  clf, x=1:0.1:5; y1=exp(x); y2=x.^2; plot(x,y1,'b',x,y2,'m‘)? 右图看出? ??高于?  ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 注意1 ????不存在，并不能说明??? ?不存在（为什么？） 注意2 ?不能对任何比式极限都按洛必达法则来求，首先要注意它是不是不定式极限，其次是否满 足洛必达法则条件 例 ?求极限???? .?? ( Hospital法则失效的例 ) 三.? 其他待定型:? .前四个是幂指型的. 例7??? 例8???. 例9?? 例10? . 例11? . 例12? 设?且 ?求  解? ?? ?? ?????. 例13? .??