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§ 3 有理函数的不定积分
一、有理函数的不定积分内容,
1）有理函数的部分分式分解
2）有理函数的不定积分
难点：有理函数的部分分式分解
要求：掌握有理函数的积分方法
我们已经学习了不定积分的三种基本积分方法
第一换元法，第二换元法，分部积分法。灵活的应用
它们，就可以求出许多不定积分。
有理函数是指两个多项式的商表示的函数,
2
先介绍代数学中两个定理,
定理 1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式总那个可以
唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积,
rslk hrxxqpxxbxaxbxQ )()()()()( 220 ??????? ??
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定理 2 （ 部分分式展开定理）,
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因此有理函数的积分问题就归结为计算
与
例 1,求不定积分
将被积函数按部分分式分解,
两边同乘
比较同次项系数,
5
解此方程组得,A = -3, B = 5
由此得到,
所以
例 2
解 将分母分解因式
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因此可分成部分分式
两边同乘
比较同次项系数得
(*)
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解此方程组得,A =1 B =2 C =-1 D =-1 E =1
从而得方程组,
从而,
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( ) 0,
0,1 *
2 2 * 1 2,
,0 ( 1 2 *
- 10 - 4- 2C - 8E 1
x 1 ( 1 2
x Q x
x
x x A B
x A B
AB
?
??
? ? ? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
上述的待定系数法有时可用较简便的方法（如用赋值法）
去代替，例如可将 的某些特定值（如 的根 再选
择一些特殊值，如,等）代入（ ）式，以便得
到一直接求得某几个待定系数的值。对于上例，若分别用
,代入（ ）式，立即可得：, 再
选择, ）代入（ ）式，可得：
（ ）；
以, ）代入（ *
4 3 2 18 2
x 1 ( 1 2 * 1 9 3 3,
1 2 3 1,1,1.
C D E
A B C E D
C D E
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
）式得：
（ ）（ ）；
以, ）代入（ ）式得,（ ）（ ）
解由（）、（ ）、（ ）联立方程组得：
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小结,
1、有理函数的原函数一定是初等函数；
2、求有理函数不定积分的步骤,
1）、若被积函数是有理假分式，则通过多项式除法，把它化成
多项式 +有理真分式；
2）、用部分分式展开定理把有理真分式化成若干个简单分式之
和，用比较系数法或赋值法求出各待定系数。
3）、求出各个简单分式的不定积分,
则有理函数的不定积分 =多项式的不定积分（若是有理假分式,
则必有此项积分） +各个简单分式的不定积分。