§ 5? 微分 一.? 微分概念: 由导数定义???? ?? ?利用第三章讲过的极限与无穷小量之间的关系，上式可写为  即函数在 ?处的改变量可表示成两部分： 的线性部分?与 ?的高阶无穷小部分 。 当 充分小时，函数的改变量可由第一部分近似代替 ?? 例? 正方形面积的测问题。设  ? ? ? ? ? ? ? 正方形的实际边长为 ，由于测量不可能绝对准确，设边长测量的最大误差为 ，试问由于边长测量不准造成的面积误差最多有多大？ ????  即面积误差由两部分组成： 第一部分? ?是 ?的线性部分; 第二部分? ?是 ?的高阶无穷小，所以?  二????微分定义 定理? ( 可微与可导的关系 ). ?由微分的定义 ?当 ?充分小时 ?? 即??  ?这后一式中的近似号若换成等号就是过 点的切线方程，所以这种近似计算的实质是“以直代曲”。用这种方法近似计算时，要注意它的前提：?应充分小！这一点可以从图（d52）看得很清楚。 ?三? 微分的几何意义 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?例1求 ?和  四.?微分运算法则:?? 法则1—4? 只证2. 一阶微分形式不变性.? 利用微分求导数.??? 微商. ?例2? ????求 ?和  ?例3? ??????求 ?和 ? ?五．??微分的应用: ?1.??建立近似公式:? 原理:? ??即  特别当 ?时,? 有近似公式 ?具体的近似公式如: ?等. 2.??? 作近似计算:? 原理:? ? 例??? 求 ?的近似  ? ?? 精确到万分之一等于 ??? ??sin(29*pi/180)? ?ans =??? 0.4848 ? ?误差不超过 ? ?提问：这里能用度作单位近似计算吗？为什么? ?例?? 求 ?和 的近似值.??? ?3．? 估计误差： ???? 绝对误差估计：?  ???? 相对误差估计：? ? ?例4? ?设已测得一根圆轴的直径为，并知在测量中绝误差不超过 .? 试求以此数据计算圆 轴的横截面面积时所产生的误差. ? 4 ?求速率: 原理:?  例7? 球半径以的速度匀速增大. 求时, 球体积增大的 速度.? ? 六． 高阶微分： 高阶微分的定义：  ??????????? ???? ?阶微分定义为 ?阶微分的微分， 即 ???? ???????? 注意区分符号? 的意义.  例7? ?求  以例7为例,? 说明高阶微分不具有形式不变性: 在例7中,? 倘若以 求二阶微分, 然后代入 ,? 就有 ??? ??? 倘若先把 ?代入,? 再求二阶微分, 得到  可见上述两种结果并不相等.? 这说明二阶微分已经不具有形式不变性. 一般地, 高阶微分不具有形式不变性. ??? 在初等数学中“直”就是“直”，“曲”就是“曲”，二者是不会等同的，微分概念的建立冲破了初等数学的狭隘界限，在“直”和“曲”之间架起了一个桥梁。但是，并不是任何直线和曲线都可以无条件转化的。我们知道，任何一条割线与曲线的联系都是个别的，特殊的，只有切线与曲线的联系才是一般的、本质的。微分学中正是利用切线的“直”去代替“曲”的，反映到数量上，就是用函数改变量的线性主要部分代替函数的改变量。恩格斯指出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”。“一定条件”那就是“细分”，细分的一定程度，它们之间的差是一个高阶无穷小，“直”和“曲”可以“等同”起来。但“直”和“曲”的等同是在相差一个高阶无穷小意义下的等同，是有差别的等同，而不是无条件的等同，这正是“直”和“曲”等同这一辨证思想的核心。