第一节 数列极限的概念
冯永平
Fypmth@gzhu.edu.cn
“割之弥细,
所失弥少,
割之又割,
以至于不可割,
则与圆周合体
而无所失矣”
1、割圆术,
——刘徽
一、概念的引入
R
正六边形的面积 1A
正十二边形的面积 2A
????
正 形的面积 126 ?? n nA
??,,,,,321 nAAAA S
2、截丈问题,
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 ?X第一天截下的杖长为;2 121 22 ??X为第二天截下的杖长总和
????;2 12 121 2 nnXn ???? ?天截下的杖长总和为第
nnX 2
11 ?? 1
二、数列的定义
定义, 按自然数 ?,3,2,1
编号依次排列的一列数
??,,,,
21 n
xxx (1 )
称为 无穷数列,简称 数列,
其中的每个数称为数列
的 项,
n
x 称为 通项 ( 一般
项 ), 数列 (1 ) 记为 }{
n
x
例如;,2,,8,4,2 ?? n;,21,,81,41,21 ?? n
}2{ n
}21{ n
注意,1.数列对应着数轴上一个点列,可看作一
动点在数轴上依次取,,,,,21 ?? nxxx
1x 2x3x 4x nx
2.数列是整标函数 ).( nfx n ?;,)1(,,1,1,1 1 ?? ??? n})1{( 1?? n;,)1(,,34,21,2
1
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1
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1
时的变化趋势当观察数列 ????
?
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三、数列的极限
问题, 当 无限增大时,是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
nxn
.1)1(1,
1
无限接近于无限增大时当 nxn
n
n
??
??
问题,,无限接近, 意味着什么?如何用数学语言刻划它,
?? 1nx? nnn
11)1( 1 ?? ?
通过上面的观察,
,1 0 011 ?n由,1 0 0时只要 ?n,10011 ??nx有
,10001给定,1 0 0 0时只要 ?n
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100
1给定,
定义 如果对于任意给定的
正数 ? ( 不论它多么小 ),总存
在正数 N,使得对于 Nn ? 时
的一切
n
x,不等式 ??? ax
n
都成立,那末就称常数 a 是数
列 nx 的极限,或者称数列 nx
收敛于
a
,记为
,lim ax
n
n
?
??
或
).( ??? nax
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的,
注意,;.1 的无限接近与刻划了不等式 axax nn ???
..2 有关与任意给定的正数 ?N
x1x2x 2?Nx1?Nx 3x
几何解释, ?2??a ??a
a
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,),(,
落在其外个至多只有只有有限个
内都落在所有的点时当
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其中;,每一个或任给的?,,至少有一个或存在?
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恒有时使
极限定义的辨析,
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.0 ?? ???? axx nn 满足不等式，都有无穷多项对
.0 ?? ???? axx nn 满足不等式，都只有有限项对
例 1
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证明
证
0?nx kk nn
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所以,
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即
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例 2
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1
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n
aa n 111 ???得
几点补充,
? 的任意性,刻画了数列在趋于无穷
时与某一常数之间的接近程度；可以限
定其小于任意的给定正数。
? 的相应性,随 变化,但并不唯
一,重要在于证明其存在性。
? ?
?N N
N
等价定义,任给,若在 之外数列
中至多有有限个，则称数列 收敛于极限 。
? }{ na
}{ na
);( ?aU
例 5 证明 和 都为发散数列。
例 6 设,作数列 如下,
证明 。
例 7 设 为给定的数列,为对 增加、减少
或改变有限项之后得到的数列，则数列 和 同
时收敛或发散，收敛时有相同的极限。
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冯永平
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三、数列的极限
问题, 当 无限增大时,是否无限接近于某一
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例 6 设,作数列 如下,
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