1
§ 5 微积分学基本定理, 定积分计算（续）
本节第一部分的内容主要是利用定积分证明来证明前面多次
提到的问题 — 连续函数必存在原函数；第二部分的内容主要介绍
定积分的换元积分法及积分分部积分法。
一、变限积分与原函数存在定理
1、变限积分 [,] [,],
[,] ( ) ( ),[,]
x
a
f a b x a b f
a x x f t d t x a b
x
??
? ? ??
设 在 上可积，根据积分区间的可加性，对 在
上也可积，于是，由
定义了一个以积分上限 为自变量的函数，称为变上限的定积分。
类似地可定义变下限的定积分：
2
( ) ( ),[,]
( ) ( )
(
[,],( ) ( ),
.
9.9 [,] ( ) ( )
[,]
b
x
bx
xb
x
a
x f t dt x a b
xx
x a b f t dt f t dt
f a b x f t dt
ab
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,统称为变限积分（或积分上、下限函数）。
现在的问题是：变限积分 函数）有什么性质？
由于对 有,因此下面只讨论变
上限积分的性质
定理 若 在 上可积，则变上限积分
必在 上连续。（证）
3
(.
9.10 [,]
( ) ( ) [,] ( ) ( ) ( ), (
1 [,] [,]
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2
xx
aa
x
a
f a b
x f t dt a b x f t dt f x
f a b a b
x f t dt f
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定理说明，变限积分 函数）必在积分区间上连续
定理 （原函数存在定理）若 在 上连续，则变上限积分
在 上可导，且,证）
定理说明：
）、只要 在 上连续，则其在 上必存在原函数，且变限积分
就是 的一个原函数。
）、本定理沟通了导数（函数平均变化率的极
,
限）与定积分（黎曼
积分和的极限）这两个从表面上看去似不相干的概念之间的桥梁
4
2
22
1
sg n ( ) [ 1 1 ]
1
sin,0
( ),[ 1,1 ]
0,0
1 2 1
2 sin c o s,0
( ),(
0,,0
x
xx
fx x
x
xx
g x gxxx
x
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???
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也就是沟通了微分学与积分学的桥梁。因此把本定理称为“微积分
基本定理”。
思考题：
、可积的函数是否一定存在原函数？存在原函数的函数是否一定可积？
前一个问题可考虑,在, 上的可积性与原函数的存在性。
后一个问题可考虑,在 上是否为：
的原函数？ ) [ 1,1 ]x ?在 上是否可
积？
5
2 ( ) ( ) ( )
1
9.12 [,] [ ]
,,
bx
aa
f x dx f x dx f t dt
f a b
a b a t
? ? ?
? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ?
）、问：符号 有何区别？有何联系？
二、定积分换元积分法与分部积分法
原函数的存在性定理及牛顿—莱不尼茨公式，揭示了定积分
与不定积分之间的关系，因此可以把不定积分的换元积分法与分
部积分法相应地移植到定积分计算上来。
、定积分的换元积分法
定理 若 在 上连续,在, 上有连续的导函数，且满
足：（ ） （ ） （ ）,[ ],bt ???,
则有定积分换元公式：
6
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( ) ( ) ( )
1 ( )
2 ( ) ( ) ( )
()
()
3 ( )
1
b
a
f x d x f t t d t
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f t t F t
F t x
Ft
xt
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?
??
证
公式使用时应注意：
）、换元必换限：用 把原来变量 换成新变量 时，积分限
也要换成相应于新变量 的积分限；
）、求出 的一个原函数 后，不必象不定积分那样再
要把 还原成原来变量 的函数，而只要把新变量的上下限代入
中求其差值即可。
）、使用公式时要注意条件，要求所作的变换 满足两条
件：（） ( [ ] 2 ( )
.
t t t
ab
? ? ? ? ? ??,）在, 上连续；（ ）、当 从 变到 时,恰
好从 变到
7
4 [,] ( )f a b t?）、如果定理的条件只假设 在 上可积，但还要要求
是单调的，则定积分的换元积分公式仍成立。
思考题：
应用换元法计算定积分时，一旦得到了新变量表示的原函数后，
不必作变量还原，而只要用新的积分限代入并求差值就可以了。
为什么？
.)(2)(;0)(],[
0
??
?
?
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aa
a
a
a
dxxfdxxf
dxxfaaf 若是偶函数，则则：上连续，且是奇函数，在若
：法容易证明重要的结论利用定积分的换元积分
8
例 1 求 例 2 求 为技巧积分题
例 3 求 为技巧积分题
例 4 已知：,求
9
?,2,1,c o ss i n2
ln1
)()()()()()(
],[)()(13.9
2
2
0
2
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1
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nx d xx d x
x d xx
dxxvxuxvxudxxvxu
baxvxu
nn
e
b
a
b
a
b
a
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与求例
求例
（证）
公式：
有定积分分部积分上的连续可微函数，则为、若定理
定积分分部积分法、
解,
10
=
,
,
解得,直接求得
于是,当 为偶数时,有,n
11
当 为奇数时,有,
注：有关利用定积分分部积分法推广推导出 Taylor公式的积分
型余项的内容放到 Taylor级数内容一起讲授。
§ 5 微积分学基本定理, 定积分计算（续）
本节第一部分的内容主要是利用定积分证明来证明前面多次
提到的问题 — 连续函数必存在原函数；第二部分的内容主要介绍
定积分的换元积分法及积分分部积分法。
一、变限积分与原函数存在定理
1、变限积分 [,] [,],
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上也可积，于是，由
定义了一个以积分上限 为自变量的函数，称为变上限的定积分。
类似地可定义变下限的定积分：
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现在的问题是：变限积分 函数）有什么性质？
由于对 有,因此下面只讨论变
上限积分的性质
定理 若 在 上可积，则变上限积分
必在 上连续。（证）
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定理 （原函数存在定理）若 在 上连续，则变上限积分
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定理说明：
）、只要 在 上连续，则其在 上必存在原函数，且变限积分
就是 的一个原函数。
）、本定理沟通了导数（函数平均变化率的极
,
限）与定积分（黎曼
积分和的极限）这两个从表面上看去似不相干的概念之间的桥梁
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基本定理”。
思考题：
、可积的函数是否一定存在原函数？存在原函数的函数是否一定可积？
前一个问题可考虑,在, 上的可积性与原函数的存在性。
后一个问题可考虑,在 上是否为：
的原函数？ ) [ 1,1 ]x ?在 上是否可
积？
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二、定积分换元积分法与分部积分法
原函数的存在性定理及牛顿—莱不尼茨公式，揭示了定积分
与不定积分之间的关系，因此可以把不定积分的换元积分法与分
部积分法相应地移植到定积分计算上来。
、定积分的换元积分法
定理 若 在 上连续,在, 上有连续的导函数，且满
足：（ ） （ ） （ ）,[ ],bt ???,
则有定积分换元公式：
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( ) ( ) ( )
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公式使用时应注意：
）、换元必换限：用 把原来变量 换成新变量 时，积分限
也要换成相应于新变量 的积分限；
）、求出 的一个原函数 后，不必象不定积分那样再
要把 还原成原来变量 的函数，而只要把新变量的上下限代入
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）、使用公式时要注意条件，要求所作的变换 满足两条
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好从 变到
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：法容易证明重要的结论利用定积分的换元积分
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例 1 求 例 2 求 为技巧积分题
例 3 求 为技巧积分题
例 4 已知：,求
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公式：
有定积分分部积分上的连续可微函数，则为、若定理
定积分分部积分法、
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解得,直接求得
于是,当 为偶数时,有,n
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当 为奇数时,有,
注：有关利用定积分分部积分法推广推导出 Taylor公式的积分
型余项的内容放到 Taylor级数内容一起讲授。
