第二节 收敛数列的性质
冯永平
Fypmath@gzhu.edu.cn
定理 1 收敛的数列必定有界,
证,l i m ax
nn ???设 由定义,,1??取
,1,???? axNnN n时恒有使得当则
.11 ???? axa n即有
},1,1,,,m a x { 1 ??? aaxxM N?记
,,Mxn n ?皆有则对一切自然数 ? ?,有界故 nx
注意,有界性是数
列收敛的必要条件, 推论 无界数列必定发散,
1.有界性 一、数列极限的性质
2.唯一性
定理 2 每个收敛的数列只有一个极限,
证
babxax nnnn ??? ????,lim,lim 又设
由定义,
使得对于,,,2 21 NNab ????;1 ???? axNn n时恒有当;2 ???? bxNn n时恒有当
? ?,,m a x 21 NNN ?取
时有则当 Nn ?
2
abax
n
???
矛盾！即 2,2 baxbax nn ????
.时才能成立上式仅当 ba ?故极限唯一,
2
abbx
n
???
3.保号 性
定理 3 若,则对任意
.（或 ）,
)0(0li m ????? aaa nn 或 ),0( ar?
),0( ar? )(,raraNnN nn ????? 或时有
定理 4 若 均存在，并且
则,
4.保不等 性
nnnn ba ???? lim,lim nn baNnN ???? 时,
nnnn ba ???? ? l i ml i m
例 1
.lim
,0lim,0
ax
axx
nn
nnn
?
???
??
??
求证
且设
证,0??任给
.lim ax nn ???故
,l i m ax nn ????
,axNnN n ?????? 时恒有使得当
ax
axax
n
n
n ?
???从而有
a
ax n ??
a
??
5.夹逼准则
如果数列
nn
yx,及
n
z 满足下列条件,
,lim,lim)2(
)3,2,1()1(
azay
nzxy
n
n
n
n
nnn
??
???
????
?
那末数列
n
x 的极限存在,且 ax
n
n
?
??
lim,
证,,azay nn ???
使得,0,0,0 21 ????? NN?
本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一
个计算数列极限的方法。
,1 ???? ayNn n时恒有当
},,m a x { 21 NNN ?取
恒有时当,Nn ?
,?????? aya n即
,2 ???? azNn n时恒有当
,?????? aza n
上两式同时成立,
,?? ?????? azxya nnn
,成立即 ??? ax n,l i m ax nn ?? ??
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
注意,,
,
的极限是容易求的与并且
与键是构造出利用夹逼准则求极限关
nn
nn
zy
zy
例 2 求数列 的极限。
解,记, 这里,则有,
左右两边的极限均为 1,故由夹逼准则本例得证 。
}{n n
nnn hna ??? 1 )1(0 ?? nhn
1
2111
?????? nha nn
例 3 ).12111(l i m 222 nnnn
n ?
?????
??
?求
解,1111 2222 ???????? n nnnnnn n ??
n
nn
n
nn 1
1
1limlim
2
?
?
? ????
又
,1?
2
2 1
1
1lim
1
lim
n
n
n
nn
?
?
? ????,1? 由夹逼定理得
.1)12111(l i m 222 ???????
?? nnnnn
?
6、极限运算法则
.0,lim)3(;lim)2(;)(lim)1(
,lim,lim
??
???
???
??
??
??
??
????
B
B
A
b
a
BAba
BAba
BbAa
n
n
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
其中
则设
小结, 为非负整数时有和当 nmba,0,0 00 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
???
???
?
?
??
,,
,,0
,,
l i m
0
0
1
10
1
10
mn
mn
mn
b
a
bnbnb
anana
n
nn
m
mm
n
当
当
当
?
?
例 4 求
0,lim 001
10
1
10 ??
???
???
?
?
??
ba
bnbnb
anana
n
nn
m
mm
n ?
?
? 例 5 求,其中 。
? 例 6 求 。
? 定理 数列 收敛的充要条件为,
的任何非平凡子列都收敛 。
1l i m ??? n
n
nn a
a 1??a
)1(l i m nnnn ????
}{ na
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冯永平
Fypmath@gzhu.edu.cn
定理 1 收敛的数列必定有界,
证,l i m ax
nn ???设 由定义,,1??取
,1,???? axNnN n时恒有使得当则
.11 ???? axa n即有
},1,1,,,m a x { 1 ??? aaxxM N?记
,,Mxn n ?皆有则对一切自然数 ? ?,有界故 nx
注意,有界性是数
列收敛的必要条件, 推论 无界数列必定发散,
1.有界性 一、数列极限的性质
2.唯一性
定理 2 每个收敛的数列只有一个极限,
证
babxax nnnn ??? ????,lim,lim 又设
由定义,
使得对于,,,2 21 NNab ????;1 ???? axNn n时恒有当;2 ???? bxNn n时恒有当
? ?,,m a x 21 NNN ?取
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2
abax
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矛盾！即 2,2 baxbax nn ????
.时才能成立上式仅当 ba ?故极限唯一,
2
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3.保号 性
定理 3 若,则对任意
.（或 ）,
)0(0li m ????? aaa nn 或 ),0( ar?
),0( ar? )(,raraNnN nn ????? 或时有
定理 4 若 均存在，并且
则,
4.保不等 性
nnnn ba ???? lim,lim nn baNnN ???? 时,
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例 1
.lim
,0lim,0
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5.夹逼准则
如果数列
nn
yx,及
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,lim,lim)2(
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那末数列
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x 的极限存在,且 ax
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使得,0,0,0 21 ????? NN?
本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一
个计算数列极限的方法。
,1 ???? ayNn n时恒有当
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恒有时当,Nn ?
,?????? aya n即
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上两式同时成立,
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上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
注意,,
,
的极限是容易求的与并且
与键是构造出利用夹逼准则求极限关
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例 2 求数列 的极限。
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左右两边的极限均为 1,故由夹逼准则本例得证 。
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例 3 ).12111(l i m 222 nnnn
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