1
第九章 定 积 分
§ 1 定积分的概念
教学内容,
1) 定积分概念的引入
2）,分割、近似求和、取极限”数学思想的建立
3) 定积分的数学定义
重 点,定积分的数学定义
难 点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立
定积分概念的引入
一、背景
1、曲边梯形的面积 2、变力所做的功
2
1 曲边梯形的面积
中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算
，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生
活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计
算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。
8
6
4
2
-2
-4
-5 5 10
用 9 个矩形面积作为曲边梯形的面积
动态演示
1 I
3
上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情
况精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何
求取曲边图形的准确面积呢？
比如举世瞩目的长江三峡溢流坝,其断面形状是根据流体力
学原理设计的，如图 1所示，上端一段是是抛物线，中间部分是
直线，下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要根据它的体积备
料，计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面积。该
断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢？在介绍微分
定义时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互
转化，早在三国时代，我代数学家刘徽就提出了, 割圆术,,以
,直, 代, 曲, 把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在我
们来计算一下溢流坝上部断面面积。
4
假设抛物线方程为,
将 等分成 n等份，抛物线下
面部分分割成 n个小曲边梯形第 i个
小曲边梯 形
用宽为,高为 的矩形代替,如下图,
则它的第 i个小曲边梯形的面积,
所求的总面积,
5
我们分别取 n=10,50,
100用计算机把它的图象
画出来，并计算出面积的
近似值,
见右图）则积时，
形的面的面积之和作为曲边梯
个小矩形时，用当）、
(.7 1 5 0.0:
10101
10 ?
?
s
n
见下图）
则为曲边梯形的面积时，个小矩形的面积之和作时，用当）、
(.6 7 6 6.0
:50502
50 ?
?
s
n
6
7
100
3 1 0 0 1 0 0,
0, 6 7 1 7, (
n
s
?
?
）、当 时，用 个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则
见下图）
8
由此可知，分割越细，越接近面积准确值
再看一个 变力做功的问题
设质点 m受力 的作用，沿直线由 A点运动到 B 点，求变力
的做的功。
F 虽然是变力，但在很短一段间隔内
看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想,
,F的变化不大，可近似
1） 对 作分割,
9
当每个小区间 的长度都很小时，小区间 上的力,
在 上，力 F作的功
2） 求 和
力 F在 上作的功
分割越细，近似程度越好，分割无限细时，即分割细
度,
时,
10
3）取极限
对上面和式取极限，极限值就是 力 在 上作的功。
从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变
力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行, 分割、近似求和、
取极限,,或者说都归结为形如,
的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，
作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可
以给定积分下一个定义（下页）
11
定义 设 是定义在区间 上的一个函数，在闭区间
上任取 n-1个分点
把 [a,b] 分成 n个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的
一个分割，用 T表示,分割的细度用 表示,
在分割 T所属的各个小区间内各取一点 称为介点,
作和式, 以后简记为
12
此和式称为 在 上属于分割 T的积分和（或黎曼和,
设 是一个确定的数，若对任意总存在某个,使得
上的任何分割 T,只要它 的细度, 属于分割 T的所有积分
和 都有
则称 在 上可积,称 J为函数 在
上的定积分 (或黎曼积分 )，记作
称为积分的下、上限。
分别、称为积分区间，为积分变量，称为积分函数，其中 babaxxf ],[)(
13
利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为,
变力作功问题可表示为
例 用定义求积分
解 分法与介点集选法如例 1,有
14
上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是积分
三．理解定积分定义要注意以下三点,
1）定积分定义与我们前面讲的函数极限的,, 定义形式
上非常相似，但是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说，
给定了细度 以后，积分和并不唯一确定，同一细度分割有无穷
多种，即使分割确定，介点 仍可以任意选取，所以积分和的极
限比前面讲的函数极限要复杂的多。
2）定积分是积分和的极限，积分值与积分变量的符号无关
15
。
3) 表示分割越来越细的过程,分点个数
，但反 过来, 并不能保证, 所以,
不能写成,
4)、定积分的几何意义
(作图并解释）
a b
()y f x?
x
y
o
16
四．小结,
学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建
立定积分概念的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它
类型的积分，比如勒贝格积分、斯蒂疌斯积分等，只要理解
了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。现在我
们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实
例和概念中看到定积分的基本思想是：首先作分割然后用
,直, 的长方形去近似代替小曲边梯形，以, 直, 代, 曲, ；
然后把所有长方形加起来，近似求和，得到曲边梯形面积的
一个近似值；当分割无限加细时，就得到曲边梯形的准确值,
即,这时又从, 直, 回到了, 曲, 。, 分割、近似求
和、取
极限, 是定积分的核心思想。
第九章 定 积 分
§ 1 定积分的概念
教学内容,
1) 定积分概念的引入
2）,分割、近似求和、取极限”数学思想的建立
3) 定积分的数学定义
重 点,定积分的数学定义
难 点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立
定积分概念的引入
一、背景
1、曲边梯形的面积 2、变力所做的功
2
1 曲边梯形的面积
中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算
，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生
活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计
算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。
8
6
4
2
-2
-4
-5 5 10
用 9 个矩形面积作为曲边梯形的面积
动态演示
1 I
3
上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情
况精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何
求取曲边图形的准确面积呢？
比如举世瞩目的长江三峡溢流坝,其断面形状是根据流体力
学原理设计的，如图 1所示，上端一段是是抛物线，中间部分是
直线，下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要根据它的体积备
料，计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面积。该
断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢？在介绍微分
定义时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互
转化，早在三国时代，我代数学家刘徽就提出了, 割圆术,,以
,直, 代, 曲, 把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在我
们来计算一下溢流坝上部断面面积。
4
假设抛物线方程为,
将 等分成 n等份，抛物线下
面部分分割成 n个小曲边梯形第 i个
小曲边梯 形
用宽为,高为 的矩形代替,如下图,
则它的第 i个小曲边梯形的面积,
所求的总面积,
5
我们分别取 n=10,50,
100用计算机把它的图象
画出来，并计算出面积的
近似值,
见右图）则积时，
形的面的面积之和作为曲边梯
个小矩形时，用当）、
(.7 1 5 0.0:
10101
10 ?
?
s
n
见下图）
则为曲边梯形的面积时，个小矩形的面积之和作时，用当）、
(.6 7 6 6.0
:50502
50 ?
?
s
n
6
7
100
3 1 0 0 1 0 0,
0, 6 7 1 7, (
n
s
?
?
）、当 时，用 个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则
见下图）
8
由此可知，分割越细，越接近面积准确值
再看一个 变力做功的问题
设质点 m受力 的作用，沿直线由 A点运动到 B 点，求变力
的做的功。
F 虽然是变力，但在很短一段间隔内
看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想,
,F的变化不大，可近似
1） 对 作分割,
9
当每个小区间 的长度都很小时，小区间 上的力,
在 上，力 F作的功
2） 求 和
力 F在 上作的功
分割越细，近似程度越好，分割无限细时，即分割细
度,
时,
10
3）取极限
对上面和式取极限，极限值就是 力 在 上作的功。
从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变
力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行, 分割、近似求和、
取极限,,或者说都归结为形如,
的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，
作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可
以给定积分下一个定义（下页）
11
定义 设 是定义在区间 上的一个函数，在闭区间
上任取 n-1个分点
把 [a,b] 分成 n个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的
一个分割，用 T表示,分割的细度用 表示,
在分割 T所属的各个小区间内各取一点 称为介点,
作和式, 以后简记为
12
此和式称为 在 上属于分割 T的积分和（或黎曼和,
设 是一个确定的数，若对任意总存在某个,使得
上的任何分割 T,只要它 的细度, 属于分割 T的所有积分
和 都有
则称 在 上可积,称 J为函数 在
上的定积分 (或黎曼积分 )，记作
称为积分的下、上限。
分别、称为积分区间，为积分变量，称为积分函数，其中 babaxxf ],[)(
13
利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为,
变力作功问题可表示为
例 用定义求积分
解 分法与介点集选法如例 1,有
14
上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是积分
三．理解定积分定义要注意以下三点,
1）定积分定义与我们前面讲的函数极限的,, 定义形式
上非常相似，但是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说，
给定了细度 以后，积分和并不唯一确定，同一细度分割有无穷
多种，即使分割确定，介点 仍可以任意选取，所以积分和的极
限比前面讲的函数极限要复杂的多。
2）定积分是积分和的极限，积分值与积分变量的符号无关
15
。
3) 表示分割越来越细的过程,分点个数
，但反 过来, 并不能保证, 所以,
不能写成,
4)、定积分的几何意义
(作图并解释）
a b
()y f x?
x
y
o
16
四．小结,
学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建
立定积分概念的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它
类型的积分，比如勒贝格积分、斯蒂疌斯积分等，只要理解
了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。现在我
们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实
例和概念中看到定积分的基本思想是：首先作分割然后用
,直, 的长方形去近似代替小曲边梯形，以, 直, 代, 曲, ；
然后把所有长方形加起来，近似求和，得到曲边梯形面积的
一个近似值；当分割无限加细时，就得到曲边梯形的准确值,
即,这时又从, 直, 回到了, 曲, 。, 分割、近似求
和、取
极限, 是定积分的核心思想。
