第一节 函数极限概念
冯永平
Fypmath@gzhu.edu.cn
.xx xsin 时的变化趋势当观察函数 ???
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
x xy s i n?
问题, 函数 )( xfy ? 在 ???x 的 过程中,对
应函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf ????
.xXx 的过程表示 ????
.0s i n)(,无限接近于无限增大时当 x xxfx ?
通过上面的观察,
问题, 如何用数学语言刻划函数, 无限接近,,
:.1 定义
定义"" X??
.Axf,Xx,X,?? ??????? )(00 恒有时使当
????? Axflimx )(
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小 ),
总存在着正数,使得对于适合不等式 的一
切,所对应的函数值 都满足不等式,
那末常数 就叫函数 当 时的极限,
记作
?
X Xx ?
x
)(xf
??? Axf )(
A
)(xf
???x
)()()( ???????? xAxfAxflimx 当或
:x,情形??02
.Axf,X|x|,X,?? ??????? )(00 恒有时使当
:x,情形???01 Axfx ???? )(l i m
.A)x(f,Xx,X,?? ???????? 恒有时使当00
Axflimx ??? )(
2.另两种情形,
???? Axfx )(l i m:定理,)(l i m)(l i AxfAxf xx ?? ?????? 且
x
xy sin?
3.几何解释,
??
?
X? X
.2,
)(,
的带形区域内宽为为中心线直线
图形完全落在以函数时或当
??
????
Ay
xfyXxXx
A
Axflimx ??? )(
例 1,01l i m ?
?? xx
证明
证
xx
101 ??? ?,?
,0???,1??X取 时恒有则当 Xx ?
,01 ???
x
.01l i m ?
?? xx
故
例 2
.2a r c t a nl i m ??
???
x
x
证明
证
,0???
,2t a n ?????? ?? ??X取 时恒有则当 Xx ?
,)
2
(a r c t a n ?? ???x
2
a r c t a n
2
|)
2
(a r c t a n|,0
?
?
?
?
?
?
?
?????
??????
x
x
左半部分成立，只考察右半部分 的范围，,则有,
2
?? ?
?????? ????????? ?? ???? 2t a n2t a nx
.2a r c t a nl i m ??
???
x
x
故
二、自变量趋向有限值时函数的极限
问题, 函数 )( xfy ? 在 0xx ? 的 过程中,对应
函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf ????
x0x??0x ??0x
??
,0 邻域的去心点 ?x,xx 程度接近体现 0?
.xxxx 的过程表示 00 0 ?????
:.1 定义
定义"" ???
.)(
,0,0,0 0
???
??????????
Axf
xx
恒有
时使当
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小 ),
总存在正数,使得对于适合不等式
的一切,对应的函数值 都满足不等式,
那末常数 就叫函数 当 时的极限,
记作
?
? ???? 00 xx
x
)(xf
??? Axf )(
A
)(xf
0xx ?
)()()(lim 0
0
xxAxfAxfxx ???? 当或
2.几何解释,
)(xfy ?
??A
??A
A
??0x ??0x0x
??
x
y
o,2
,
)(,
0
的带形区域内宽为
为中心线线
图形完全落在以直
函数域时
邻的去心在当
?
?
?
?
Ay
xfy
xx
注意,;)(.1 0 是否有定义无关在点函数极限与 xxf
..2 有关与任意给定的正数 ??
.,,就有无穷多个后找到一个显然 ?
证
例 3,l i m 0
0
xxxx ??证明
,)( 0xxAxf ????,0??任给,???取
,0 0 时当 ?????? xx
0)( xxAxf ???,成立??
.lim 0
0
xxxx ?? ?
例 4,4
2
4l i m 2
2
???
? x
x
x
证明
证
4
2
4)( 2 ?
?
???
x
xAxf?,0??任给
,???只要取
,0 0 时当 ???? xx
函数在点 x=2处没有定义,
2?? x
,)( ??? Axf要使
,424
2
?????xx就有
.211lim
2
1
????
? x
x
x
例 5
.11l i m 202
0
xx
xx
????
?
证
2
0
2 11)( xxAxf ??????
,0??任给
,21
2
0 ?? x??取
,0 0 时当 ???? xx
2
0
2
2
0
2
11 xx
xx
???
??
,)( ??? Axf要使
,11 202 ????? xx就有
,
1
2
1 20
0
2
0
00
x
xx
x
xxxx
?
??
?
???
.
2
1 20
0 ?
xxx ???只要
.11lim,0||,2020
0
xxx xx ???? ?时当证明
几点注释
? 1 定义中的 相当于数列极限中的,
它与 有关，但不是唯一确定。
? 2 定义中只考虑在 空心邻域内有定义
的情形，一般不考虑函数在 有无定义。
? 3 以上的定义可以用邻域的形式简单给出。
? N
?
0x
0x
3.单侧极限,
例如,
.1)(lim
0,1
0,1
)(
0
2
?
?
?
?
??
??
?
?
xf
xx
xx
xf
x
证明
设
两种情况分别讨论和分 00 ?? xx
,0xx 从左侧无限趋近 ;00 ?? xx记作
,0xx 从右侧无限趋近 ;00 ?? xx记作
y
o x
1
xy ?? 1
12 ?? xy
左极限
.)(
,,0,0 00
???
??????????
Axf
xxx
恒有
时使当
右极限
.)(
,,0,0 00
???
??????????
Axf
xxx
恒有
时使当
}0{}0{
}0{:
00
0
??????????
????
xxxxxx
xxx
?
注意
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
???
??
??
或记作
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
???
??
??
或记作
.)0()0()(lim,00
0
AxfxfAxfxx ???????定理
.lim
0
不存在验证 xx
x ?
y
x
1
1?
o
x
x
x
x
xx
??
???? 00
limlim
左右极限存在但不相等,.)(lim 0 不存在xfx ??
例 6
证
1)1(lim 0 ???? ??x
x
x
x
x
xx 00
l i ml i m
???
? 11lim 0 ?? ??x
例 7
.4l i m 22 ?? xx证明
证 4)( 2 ??? xAxf?
,0??任给
,5?? ?取,0 0 时当 ???? xx
4)( 2 ??? xAxf有,成立?? 4lim 2
2 ?? ? xx
,22 ??? xx
,31 ?? x限制,2522 ????? xxx
????? 4)( 2xAxf要使
,25 ???x只需