第三章? 函 数 极 限 §1 函数极限概念 一? 趋于时函数的极限 设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量趋于时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数。例如，对于函数  ?? ? ?从图象上可见，当无限增大时，函数值无限地接近于0； 而对于函数，则当趋于时函数值无限地接近于。我们称这两个函数当时有极限。  一般地，当趋于时函数极限的精确定义如下： 定义1? 设定义在上的函数，为定数。若对任给的，存在正数，使得当时, 有，则称函数当趋于时以为极限，记作 或 。 说明:(1)、在定义1中正数的作用与数列极限定义中的相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实数，而不仅仅是正整数。因此，当趋于时函数以为极限意味着：的任意小邻域内必含有在的某邻域内的全部函数值。 (2)、定义1的几何意义如下图所示， ?  ?   ? ?　　 对任给的，在坐标平面上平行于轴的两条直线 与，围成以直线为中心线、宽为的带形区域；定义中的“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域之内。如果正数给的小一点，即当带形区域更窄一点，那么直线一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数，使得曲线在直线的右边部分全部落在这更窄的带形区域内。 定义1的否定叙述: 定义1’? 设定义在上的函数，为定数。若存在某个，对任意充分大的正数，总存在某个,使得:，则称函数当趋于时不以为极限. (3)、现设为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近某定数，则称当或时以为极限，分别记作: ? 或? ; ? 或?  这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，只须把定义1中的“”分别改为“”或 “”即可。 问题:  (4)、显然,若为定义在上的函数，则 ????????????（1）(返回) 例1 证明? 。  ? 证?? 任给，取 ，则当 ?时,有:  所以? 。 例2?? 证明：1）；??? ??????????? 2） 证 任给，由于 ?????????????????????? （2） 等价于，而此不等式的左半部分对任何都成立，所以只要考察其右半部分的变化范围。为此，先限制，则有  故对任给的正数?，只须取，则当时,便有（2）式成立。这就证明了1）。 类似地可证2）。 注?? 由结论（1）可知，当时不存在极限。(为什么?) 二?? 趋于时函数的极限 设为定义在某个空心邻域内的函数。现在讨论当趋于时，对应的函数值能否趋 于某个定数。这类函数极限的精确定义如下： 定义2（函数极限的定义）设函数在某个空心邻域内有定义，为定数。若对任给 的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为 极限，记作?或 。 下面我们举例说明如何应用定义来验证这种类型的函数极限。请读者特别注意以下各例中的值是 怎样确定的。 例3?? 设，证明 。 证? ?由于当时，，故对给定的，只要取，则 当时有。这就证明了。 例4证明：1）；??? 2） 证?? 先建立一个不等式：当时有 ????????????????????? （3） 事实上，在如图3-2的单位圆内，当时，显然有 ， 即? ，由此立得（3）式。 又当时有，故对一切都有；当时，由得。 综上，我们又得到不等式 ，??????????????????????? （4） 其中等号仅当时成立。 现证1）。由（4）式得 。 对任给的，只要取，则当时，就有。 所以。2）的证明留给读者作为练习。 例5证明 。 证?? 当时有  若限制于（此时），则 。于是，对任给的，只要取， 则当时，便有。 例6 证明（） 证 由于，，因此  于是，对任给的（不妨设），只要取，则当时，就有 ?。 应用定义还立刻可得 ，?  这里为常数，为给定实数。 通过以上各个例子，读者对函数极限的定义应能体会到下面几点： 1.定义2中的正数，相当于数列极限定义中的，它依赖于， 但也不是由所唯一确定，一般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小些也无妨。如在例3 中可取或等等。 2.定义中只要求函数在某一空心邻域内有定义，而一般不考虑在点处的函数值是否有定义， 或者取什么值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于过程中函数值的变化趋势。如在 例3中，函数在点是没有定义的，但当时的函数值趋于一个定数。 3.定义2中的不等式等价于，而不等式等价于。 于是，定义又可写成：任给，存在，使得对一切有。或更简单地 表为：任给，存在，  ? 使得? 。 4．定义的几何意义如图3-3所示。 对任给的，在坐标平面上画一条以直线为中心线、宽为的横带，则必存在以直线 为中心线、宽为的竖带，使函数的图象在该竖带中的部分落在横带内，但点可能例外 （或无意义）。 单侧极限 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同（如分段函数定义域上的某些点），或函数在某 些点仅在其一侧有定义（如在定义区间端点处），这时函数在那些点上的极限只能单侧地给出定义。例如， 函数 ??????????????????????????????? （5） 当而趋于0时，应按来考察函数值的变化趋势；当而趋于0时，应按来考 察。又如函数在其定义区间 ?端点 ?处的极限，也只能在点 ?的右侧和点  的左侧来分别讨论。 定义3 设函数在内有定义，为定数。若对任给的，存在正数，使得当 （或?）时有  则称为函数当趋于（或）时的右左极限，记作? （）或 ??（ 右极限与左极限统称为单侧极限。在点的右极限与左极限又分别记为   按定义3容易验证函数（5）在的左右极限分别为  。 同样还可验证符号函数? 在 ?的左右极限分别为   例7 讨论在定义区间端点处的单侧极限。 解??? 由于，故有  任给,则当时，就有 ?????????????????????????????? （6） 于是取 ，则当?即 时，（6）式成立。 这就推出 。 类似地可得 。 单侧极限与双侧极限的关系 关于函数极限与相应的左右极限之间的关系，有下述定理： 定理3.1? ????? 类似有:?  应用定理3.1，除了可验证函数极限的存在（如对函数（3）有），还常可说明函数极限的 不存在，如前面提到的符号函数 ，由于它在 ?处的左右极限不相等，所以?不存在。 例8? 证明:? 极限 不存在. 例9? 设函数在点的某邻域内单调. 若存在,? 则有?? =