第一章? 实数集与函数 ( 6时 ) ?????????????? ???§ 1?? 实? 数 ?????（3时） 数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概念 ? 一．?????? 实数及其性质： 回顾中学中关于有理数和无理数的定义. 有理数： ??? 若规定： ????????????  则有限十进小数都能表示成无限循环小数。 例如： 记为 ??；0 记为 ??；? 记为 ?? 实数大小的比较 定义1 ?给定两个非负实数  其中 ?为非负整数，。若由 1） ?则称 ?与 ?相等，记为  2） 若存在非负整数 ，使得 ，而，则称 ?大于 （或 ?小于 ?），分别记为 （或）。 规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数，若按定义1有 ，则称  ??? 实数的有理数近似表示 定义2 设为非负实数，称有理数  为实数的位不足近似值，而有理数  称为的位过剩近似值。 对于负实数 ? 的位不足近似值规定为：； 的位过剩近似值规定为： 比如 ??，则 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ?称为 的不足近似值； 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, ?称为 的过剩近似值。 命题 ?设 ?为两个实数，则  例1????? 设 为实数，，证明：存在有理数 ?满足  证明?? 由 存在非负整数，使得 ?，取  则 显然为有理数，且  实数的一些主要性质 ???? 1? 四则运算封闭性: 2? 三歧性( 即有序性 ): 3? 实数大小由传递性，即  4? Achimedes性:  5? 稠密性: 有理数和无理数的稠密性. 6? 实数集的几何表示 ─── 数轴: 例 ?? ? 二. 绝对值与不等式 ?绝对值定义：  从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：     ? ? ? ? ? 绝对值的一些主要性质 ? 性质4（三角不等式）的证明：  ? ???? ??三.? 几个重要不等式:????? ?? ???⑴? ?????? ?? ???⑵? 对 记 ????????????? ????????????????(算术平均值) ????????????? ??????????????????????(几何平均值) ????????????? ?(调和平均值) 有均值不等式:??  等号当且仅当 ?时成立. ?⑶ ?Bernoulli 不等式:? (在中学已用数学归纳法证明过) ??? 对 由二项展开式 ???????????  ? 有: ?上式右端任何一项.