第十七章 第三节
一、方向导数
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二、梯度
三、物理意义
方向导数与梯度
l
),,( zyxP
一、方向导数
定义, 若函数 ),,( zyxf
??
f?
? 0
lim
则称 l
f
?
?
l
f
?
?
?
为函数在点 P 处沿方向 l 的 方向导数,
??
),,(),,(lim
0
zyxfzzyyxxf ????????
?
在点 ),,( zyxP 处
沿方向 l (方向角为 ???,,) 存在下列极限,
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P?
?
记作
,),,(),,( 处可微在点若函数 zyxPzyxf
),,( zyxP
l
定理,
则函数在该点 沿任意方向 l 的方向导数存在,
??
f
l
f ??
?
?
? 0
l i m
??? c o sc o sc o s zfyfxflf ???????????
证明, 由函数 ),,( zyxf
)( ?ozzfyyfxxff ??????????????
? ? ??
且有
)(?o?
在点 P 可微,得
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? P?
故 ??? c o sc o sc o s z
f
y
f
x
f
?
??
?
??
?
?
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对于二元函数,),( yxf
为 ?,? ) 的方向导数为
方处沿方向在点 (),( lyxP
??
),(),(lim
0
yxfyyxxf
l
f ??????
?
?
?
?? c o s),(c o s),( yxfyxf yx ?? P
l
x
y
o
x
f
l
f
?
??
?
?特别,
? 当 l 与 x 轴同向 ? ? 有时,2,0
??? ??
? 当 l 与 x 轴反向 ? ? 有时,2,
???? ??
x
f
l
f
?
???
?
?
l
向角
例 1,求函数 在点 P(1,1,1) 沿向量
3) 的方向导数,
???????
Pl
u
14
22 ?zyx ?
?
???
14
32 yx
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解, 向量 l 的方向余弦为
例 2,求函数 在点 P(2,3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数,
解,将已知曲线用参数方程表示为
2)2,1( ?xx它在点 P 的 切向量为,
17
1c o s ?? ?
17
60?
xo
y
2
P
??
?
??
?
1
2xy
xx
)4,1(?
17
4c o s ?? 1?
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例 3,设 是曲面 n 在点 P(1,1,1 )处
指向外侧的法向量,
解,
方向余弦为,14
2c o s ??,
14
3c o s ??
14
1c o s ??
而 Px
u
?
?
????
Pn
u同理得
)1,3,2(2?
方向 的方向导数,
Pzyx )2,6,4(
14
6?
7
11?? ?1143826
14
1 ?????
Pyxz
x
22 86
6
?
?
在点 P 处沿 求函数
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?n
n
二、梯度
方向导数公式 ??? c o sc o sc o s z
f
y
f
x
f
l
f
?
??
?
??
?
??
?
?
令向量
这说明 方向,f 变化率最大的方向
模, f 的最大变化率之值
方向导数取最大值,
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????????????? zfyfxfG,,
)c o s,c o s,(c o s0 ????l
,0 方向一致时与当 Gl
:G
? ? Glf ???m a x
1,定义
,fadrg 即
同样可定义二元函数 ),( yxP
称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度
????????????? zfyfxf,,
记作
(gradient),
在点 处的梯度
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G
说明, 函数的 方向导数 为梯度在该方向上的投影,
向量
2,梯度的几何意义
函数在一点的梯度垂直于该点等值面 (或等值线 ),
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面上的投在曲线 x o yCz yxfz??? ?? ),(
CyxfL ?),(:*影 称为函数 f 的 等值线,
,,不同时为零设 yx ff 则 L*上点 P 处的法向量为
Pyx ff ),( Pfg ra d?
o
y
x1cf ?
2cf ?
3cf ?
)( 321 ccc ??设
P同样,对应函数 有等值面 (等量面 )
当各偏导数不同时为零时,其上
点 P处的法向量为,g ra d Pf
,),( yxfz ?对函数
指向函数增大的方向,
3,梯度的基本运算公式
uCuC g r a d)(g r a d( 2) ?
uvvuvu g r a dg r a d)(g r a d( 4) ??
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例 4,
证, )(rf ??
??? yrf )(
)( g r a d rf?
)(1)( kzjyixrrf ??? ????
rrrf ?1)(??
r
zrf
z
rf )()( ??
?
?
0)( rrf ???
jyrf ???? )( kzrf ???? )(
222 zyx
x
??
P
x
o
z
y
,)( ryrf ?
ixrf ???? )(
试证
r
xrf )(??
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处矢径 r 的模,
r
三、物理意义
函数
(物理量的分布 )
数量场 (数性函数 )
场
向量场 (矢性函数 )
可微函数 )(Pf 梯度场 )(g r a d Pf
( 势 )
如, 温度场,电位场等
如, 力场,速度场等
(向量场 )
注意, 任意一个向量场不一定是梯度场,
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例 5,已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点
),(4 222 zyxrrqu ???? ??试证
证, 利用例 4的结果
这说明场强,
处所产生的电位为
垂直于等位面,
且指向电位减少的方向,
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Eu ??g r a d )4(
0
2 rrεπ
qE ?场强
? ? 04g ra d rrqu ?? ?? 024 rrq???? E??
0)()(g ra d rrfrf ??
内容小结
1,方向导数
? 三元函数 在点 沿方向 l (方向角
),,???为 的方向导数为 ??? c o sc o sc o s
z
f
y
f
x
f
l
f
?
??
?
??
?
??
?
?
? 二元函数 在点
),?? 的方向导数为
?? c o sc o s yfxflf ????????
沿方向 l (方向角为
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2,梯度
? 三元函数 在点 处的梯度为
????????????? zfyfxff,,g ra d
? 二元函数 在点 处的梯度为
)),(,),((g ra d yxfyxff yx?
3,关系
方向导数存在 偏导数存在
?
? 可微
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0g ra d lf
l
f ??
?
?
梯度在方向 l 上的投影,
思考与练习
1,设函数
(1) 求函数在点 M ( 1,1,1 ) 处沿曲线
在该点切线方向的方向导数 ;
(2) 求函数在 M( 1,1,1 ) 处的 梯度 与 (1)中 切线方向
的夹角 ?,
2,P73 题 16
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曲线 1,(1) 在点
? ? )1,1,1(c o sc o sc o s ??? ???????? zyx
M
ffflf
解答提示,
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函数沿 l 的方向导数
l
M (1,1,1) 处切线的方向向量
)0,1,2(g ra d)2( ?Mf
M
M
f
l
f
g rad
?
?
?
130
6a rc c o s?? ?
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l c o s ??
l
4
2
0
4
2
0
4
2
0
2
0
02
0
02
0
0
2
2
2
2
2
2
2
0
c
z
b
y
a
x
c
z
z
b
y
y
a
x
x
n
u
M
??
?????
?
?
?
4
2
0
4
2
0
4
2
0
2
c
z
b
y
a
x
??
?2,P73 题 16
P51 2,3,6,7,8,9,10
作业
第八节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 1,函数 在点
处的梯度
解,
则
注意 x,y,z 具有轮换对称性
)2,2,1(92 ??
)2,2,1(92 ?(92考研 )
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指向 B( 3,－ 2,2) 方向的方向导数是,
在点 A( 1,0,1) 处沿点 A 2,函数 )ln ( 22 zyxu ???
提示, 则
}c o s,c o s,{c o s ????
)1ln ( ?x
)11l n ( 2 ?? y
(96考研 )
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21
2
1?